"미분형식과 맥스웰 방정식"의 두 판 사이의 차이

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* <math>(A_{\alpha})= \left( - \phi, \mathbf{A} \right)=(-\phi,A_{x},A_{y},A_{z})</math><br><math>\phi</math> 스칼라 포텐셜<br><math>\mathbf{A}</math> 벡터 포텐셜<br>
 
* <math>(A_{\alpha})= \left( - \phi, \mathbf{A} \right)=(-\phi,A_{x},A_{y},A_{z})</math><br><math>\phi</math> 스칼라 포텐셜<br><math>\mathbf{A}</math> 벡터 포텐셜<br>
 
* 1-미분형식으로서, <math>A=-\phi dt+A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}</math>
 
* 1-미분형식으로서, <math>A=-\phi dt+A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}</math>
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* <math>F=dA</math> 로부터 <math>\mathrm{d}\, {\bold{F}}=0</math> 를 얻는다
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*  가우스법칙과 앙페르-패러데이 법칙에 나타남<br><math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math><br><math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math><br>
 
*  가우스법칙과 앙페르-패러데이 법칙에 나타남<br><math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math><br><math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math><br>
 
*  four vector is called a conserved current if <math>\partial_{a}J^{a}=0</math><br>
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">맥스웰 방정식의 미분형식 표현</h5>
 
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* [[맥스웰 방정식]] 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다<br><math>\mathrm{d}\, {\bold{F}}=0</math> (<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>, <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>)<br><math>\mathrm{d}\, {\star \bold{F}}=\star J</math> (<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math>,  <math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math>)<br>
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* [[맥스웰 방정식]] 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다<br><math>dF=0</math> (<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>, <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>)<br><math>d{\star F}=\star J</math> (<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math>,  <math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math>)<br>
  
 
 
 
 

2012년 6월 11일 (월) 03:03 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • electromagnetic field strength
    \(F=\left( \begin{array}{cccc} 0 & -\frac{E_x}{c} & -\frac{E_y}{c} & -\frac{E_z}{c} \\ \frac{E_x}{c} & 0 & B_z & -B_y \\ \frac{E_y}{c} & -B_z & 0 & B_x \\ \frac{E_z}{c} & B_y & -B_x & 0 \end{array} \right)\)
  • 다음과 같은 미분형식으로 이해할 수 있음
    \(F=\frac{1}{2}F_{\alpha \beta}dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta}\)
    \(F=E_1 d x_1\wedge d t+B_3 d x_1\wedge d x_2+E_2 d x_2\wedge d t+B_1 d x_2\wedge d x_3+E_3 d x_3\wedge d t+B_2 d x_3\wedge d x_1\)
  • 맥스웰방정식은 미분형식 F 에 대한 exterior derivative가 만족시키는 방정식으로 이해할 수 있다
  • 이차미분형식으로서 로렌츠 불변이다
  • \(F'=E'_1 d x'_1\wedge d t'+B'_3 d x'_1\wedge d x'_2+E'_2 d x'_2\wedge d t'+B'_1 d x'_2\wedge d x'_3+E'_3 d x'_3\wedge d t'+B'_2 d x'_3\wedge d x'_1=F\)

 

 

 

four 벡터 포텐셜 1-form
  • \((A_{\alpha})= \left( - \phi, \mathbf{A} \right)=(-\phi,A_{x},A_{y},A_{z})\)
    \(\phi\) 스칼라 포텐셜
    \(\mathbf{A}\) 벡터 포텐셜
  • 1-미분형식으로서, \(A=-\phi dt+A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}\)
  • \(F=dA\) 로부터 \(dF=0\) 를 얻는다

 

 

 

Hodge star 연산자
  • \(\star dx dy =-dzdt\)
  • \(\star dy dz =-dxdt\)
  • \(\star dz dx =-dydt\)
  • \(\star dx dt =dydz\)
  • \(\star dy dt =dzdx\)
  • \(\star dz dt=dxdy\)

 

 

전류 4-vector
  • 전하 밀도\({\rho} \) (for point charge, density will be a Dirac delta function)
  • 전류 밀도\(\mathbf{J}=(J_x,J_y,J_z)\)
  • 전류 4-vector
    \((J^a) = \left( \rho, \mathbf{J} \right)\)
  • 가우스법칙과 앙페르-패러데이 법칙에 나타남
    \(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\)
    \(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \)
  • four vector is called a conserved current if \(\partial_{a}J^{a}=0\)
  • 미분형식으로 표현하면,
    • 1-form \(J=-\rho dt +J_{x}dx+J_{y}dy+J_{z}dz\)
    • dual 3-form \(\star J=\rho dx\wedge dy \wedge dz -J_{x}dy\wedge dz\wedge dt-J_{y}dz\wedge dx\wedge dt- J_{z}dx\wedge dy \wedge dt \)

 

 

 

맥스웰 방정식의 미분형식 표현
  • 맥스웰 방정식 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다
    \(dF=0\) (\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\), \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\))
    \(d{\star F}=\star J\) (\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\),  \(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \))

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

 

사전 형태의 자료

 

 

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관련논문

 

 

관련도서
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