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(증명)
 
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<math>\pi \cot \pi\tau=\pi\frac{\cos \pi\tau}{\sin\pi\tau}=\pi i \frac{e^{i\pi\tau}+e^{-i\pi\tau}}{e^{i\pi\tau}-e^{-i\pi\tau}}=\pi i \frac{e^{2\pi i \tau}+1}{e^{2\pi i \tau}-1}</math>
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<math>\cot \pi\tau=\frac{\cos \pi\tau}{\sin\pi\tau}=i \frac{e^{i\pi\tau}+e^{-i\pi\tau}}{e^{i\pi\tau}-e^{-i\pi\tau}}=i \frac{e^{2\pi i \tau}+1}{e^{2\pi i \tau}-1}</math>
  
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<math>q=e^{2\pi i \tau}</math> 로
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<math>q=e^{2\pi i \tau}</math> 로 두자.
  
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<math>\pi i \frac{q+1}{q-1}=\pi i (\frac{q}{q-1}+\frac{1}{q-1})=-\pi i (\sum_{r=1}^{\infty}q^r+\sum_{r=0}^{\infty}q^r)=-\pi i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}q^r)</math>
+
<math>\pi i \frac{q+1}{q-1}=\pi i (\frac{q}{q-1}+\frac{1}{q-1})=-\pi i (\sum_{r=1}^{\infty}q^r+\sum_{r=0}^{\infty}q^r)=-\pi i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}q^r)</math>■
  
 
 
 
 
  
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위의 두 표현에서 다음을 얻는다
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(따름정리)
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코탄젠트의 푸리에급수와 부분분수 전개를 비교하여, 다음을 얻는다.
  
 
<math>\frac{1}{\tau}+\sum_{m\neq0}\frac{1}{\tau+m}-\frac{1}{m} = -\pi i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}e^{2\pi i r \tau})</math>
 
<math>\frac{1}{\tau}+\sum_{m\neq0}\frac{1}{\tau+m}-\frac{1}{m} = -\pi i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}e^{2\pi i r \tau})</math>

2010년 3월 20일 (토) 14:53 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 주기가

 

 

코탄젠트의 테일러급수

\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)

 

 

코탄젠트의 부분분수 전개

\(\pi \cot \pi\tau=\frac{1}{\tau}+\sum_{m\neq0}\frac{1}{\tau+m}-\frac{1}{m}\)

 

 

코탄젠트의 푸리에급수

\(\cot \pi\tau=-i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}e^{2\pi i r \tau})\)

(증명)

\(\cot \pi\tau=\frac{\cos \pi\tau}{\sin\pi\tau}=i \frac{e^{i\pi\tau}+e^{-i\pi\tau}}{e^{i\pi\tau}-e^{-i\pi\tau}}=i \frac{e^{2\pi i \tau}+1}{e^{2\pi i \tau}-1}\)

\(q=e^{2\pi i \tau}\) 로 두자.

\(\pi i \frac{q+1}{q-1}=\pi i (\frac{q}{q-1}+\frac{1}{q-1})=-\pi i (\sum_{r=1}^{\infty}q^r+\sum_{r=0}^{\infty}q^r)=-\pi i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}q^r)\)■

 

(따름정리)

코탄젠트의 푸리에급수와 부분분수 전개를 비교하여, 다음을 얻는다.

\(\frac{1}{\tau}+\sum_{m\neq0}\frac{1}{\tau+m}-\frac{1}{m} = -\pi i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}e^{2\pi i r \tau})\)

 

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