"코탄젠트"의 두 판 사이의 차이
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<math>\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math> | <math>\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math> | ||
| − | <math>\ | + | <math>\pi x\cot \pi x =-2 \sum_{n=0}^\infty \zeta(2n)x^{2n}</math> |
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| − | <h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;"> | + | <h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">'''<br>'''</h5> |
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2010년 6월 26일 (토) 18:02 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 주기가 \(\pi\)인 주기함수
- 정의
\(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \)
함수의 그래프
[/pages/3758315/attachments/3110865 cotangent.jpg]
코탄젠트의 테일러급수
\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)
\(\pi x\cot \pi x =-2 \sum_{n=0}^\infty \zeta(2n)x^{2n}\)
코탄젠트의 부분분수 전개
\(\pi \cot \pi\tau=\frac{1}{\tau}+\sum_{m\neq0}\frac{1}{\tau+m}-\frac{1}{m}\)
코탄젠트의 푸리에급수
\(\cot \pi\tau=-i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}e^{2\pi i r \tau})\)
(증명)
\(\cot \pi\tau=\frac{\cos \pi\tau}{\sin\pi\tau}=i \frac{e^{i\pi\tau}+e^{-i\pi\tau}}{e^{i\pi\tau}-e^{-i\pi\tau}}=i \frac{e^{2\pi i \tau}+1}{e^{2\pi i \tau}-1}\)
\(q=e^{2\pi i \tau}\) 로 두자.
\(\pi i \frac{q+1}{q-1}=\pi i (\frac{q}{q-1}+\frac{1}{q-1})=-\pi i (\sum_{r=1}^{\infty}q^r+\sum_{r=0}^{\infty}q^r)=-\pi i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}q^r)\)■
(따름정리)
코탄젠트의 푸리에급수와 부분분수 전개를 비교하여, 다음을 얻는다.
\(\frac{1}{\tau}+\sum_{m\neq0}\frac{1}{\tau+m}-\frac{1}{m} = -\pi i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}e^{2\pi i r \tau})\)
역사
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