코탄젠트

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• 코탄젠트

 

 

개요

• 주기가 \(\pi\)인 주기함수
• 정의
  \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \)
  

 

 

함수의 그래프

[/pages/3758315/attachments/3110865 cotangent.jpg]

 

 

미분과 적분

• 미분
  \(\frac{d}{dx}\cot x= -\csc^2 x \)
  
• 부정적분
  \(\int \cot x dx = \log \sin x+C\)
  

 

 

 

코탄젠트의 테일러급수

\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)

\(\pi x\cot \pi x =-2 \sum_{n=0}^\infty \zeta(2n)x^{2n}\)

• 정수에서의 리만제타함수의 값

 

 

코탄젠트의 부분분수 전개

\(\pi \cot \pi\tau=\frac{1}{\tau}+\sum_{m\neq0}\frac{1}{\tau+m}-\frac{1}{m}\)

 

 

코탄젠트의 푸리에급수

\(\cot \pi\tau=-i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}e^{2\pi i r \tau})\)

(증명)

\(\cot \pi\tau=\frac{\cos \pi\tau}{\sin\pi\tau}=i \frac{e^{i\pi\tau}+e^{-i\pi\tau}}{e^{i\pi\tau}-e^{-i\pi\tau}}=i \frac{e^{2\pi i \tau}+1}{e^{2\pi i \tau}-1}\)

\(q=e^{2\pi i \tau}\) 로 두자.

\(\pi i \frac{q+1}{q-1}=\pi i (\frac{q}{q-1}+\frac{1}{q-1})=-\pi i (\sum_{r=1}^{\infty}q^r+\sum_{r=0}^{\infty}q^r)=-\pi i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}q^r)\)■

 

(따름정리)

코탄젠트의 푸리에급수와 부분분수 전개를 비교하여, 다음을 얻는다.

\(\frac{1}{\tau}+\sum_{m\neq0}\frac{1}{\tau+m}-\frac{1}{m} = -\pi i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}e^{2\pi i r \tau})\)

 

 

정적분

• 로그 사인 적분 (log sine integrals)
  \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cot x dx =- \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin t)dt =\frac{\pi}{2}\ln 2\)
  \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2\cot x dx = -2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x \ln (\sin x)dx=\frac{\pi^2}{4}\ln 2-\frac{7}{8} \zeta(3)\)
  \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^3\cot x dx = -3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^2 \ln (\sin x)dx=\frac{\pi^3}{8}\ln 2-\frac{9}{16} \zeta(3)\)
  \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x\cot x dx =\frac{G}{2}+\frac{\pi}{8}\log 2\)
  \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x^2\cot x dx =-\frac{35}{64}\zeta(3)+\frac{\pi G}{4}+\frac{\pi^2}{32}\log 2\)
  (여기서 G는 카탈란 상수)
  

 

 

역사

• 수학사연표
  

 

 

많이 나오는 질문과 답변

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• 로그 사인 적분 (log sine integrals)
  

 

 

관련도서 및 추천도서

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사전형태의 자료

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