"타원적분론 입문"의 두 판 사이의 차이
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5> | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5> | ||
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">개요</h5> | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">개요</h5> | ||
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| − | + | <h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">유리함수의 적분</h5> | |
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| + | <math>R(x,y)</math> | ||
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| + | <math>x,y</math> | ||
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| + | 삼각치환과 유리함수를 부분분수로 분해하여 적분하는 기술들을 가르치고 있다. | ||
| − | + | <h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">삼각함수의 적분</h5> | |
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| + | 삼각함수의 적분은 유리함수의 적분으로 바꿀 수 있다. | ||
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| + | <br> | ||
| − | + | * <math>R(\cos x, \sin x)</math>의 적분다음과 같은 치환적분을 사용<br><math>t=\tan \frac{x}{2}</math>, <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}</math>, <math>\sin x=\frac{2t}{1+t^2}</math>, <math>\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math><br><math>\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt</math><br><br> | |
| − | + | <math>R(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분<br> | |
| − | <math> | + | * -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">다음과 같은 치환적분을 사용 <br> -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "><math>t=\tanh \frac{x}{2}</math>, <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}</math>, <math>\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}</math>, <math>\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}</math> <br> -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "><math>\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt</math><br> <br> |
| − | + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "> | |
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| − | + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "> | |
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| − | <math>R(x,\sqrt{1-x^2})</math>의 적분 | + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "><math>R(x,\sqrt{1-x^2})</math>의 적분 |
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* <math>x=\cos u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cos x, \sin x)</math> 의 적분으로 변화 | * <math>x=\cos u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cos x, \sin x)</math> 의 적분으로 변화 | ||
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| + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "> | ||
| − | <math>R(x,\sqrt{x^2-1})</math>의 적분 | + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "><math>R(x,\sqrt{x^2-1})</math>의 적분 |
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* <math>x=\cosh u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분으로 변화<br> | * <math>x=\cosh u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분으로 변화<br> | ||
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| + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "> | ||
| − | <math>R(x,\sqrt{x^2+1})</math>의 적분<br> | + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "><math>R(x,\sqrt{x^2+1})</math>의 적분<br> |
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* <math>x=\sinh u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분으로 변화<br> | * <math>x=\sinh u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분으로 변화<br> | ||
| − | <br> | + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "><br> |
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| + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "><math>R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})</math>의 적분<br> | ||
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* <math>ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\}</math> 으로 쓴 다음<br> | * <math>ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\}</math> 으로 쓴 다음<br> | ||
* <math>ac-b^2</math>와 <math>a</math>의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.<br> | * <math>ac-b^2</math>와 <math>a</math>의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.<br> | ||
| − | <br> | + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "><br> |
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| + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "> | ||
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| + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">이렇게 각각의 경우에 패턴에 따라서, 요렇게 풀고, 저렇게 풀고 하는 방법을 아는 것으로 끝난다면, 이것은 공돌이들의 미적분학 이해와 다를 수 없다. | ||
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| + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">중요한 것은 각각의 패턴을 관통하는 통일적인 원리의 이해인데, 이런 것이 바른 학습이라고 하겠다. <br> | ||
| − | + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "><br> | |
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| − | <br> | + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "><math>\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx</math> 형태의 적분이 주어져 있을때, 이러한 삼각치환들이 잘 되는 이유는 ’이차곡선은 유리함수로 매개화 가능’ 하기 때문이다. <br> |
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| − | <math> | + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">즉, <math>y^2=ax^2+bx+c</math> 라는 곡선을, 유리함수 <math>f,g</math>를 사용하여 <math>x=f(t), y=g(t)</math> 형태로 매개화할 수 있기 때문이다. <br> |
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| − | 매개화가 왜 되는지는, 나중에 다시 쓰도록 하자. | + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">매개화가 왜 되는지는, 나중에 다시 쓰도록 하자. |
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| + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "> | ||
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| − | + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "> | |
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| + | 삼각치환이 작동하는 배경에는 다음과 같은 심오한 정리가 자리잡고 있다. | ||
오일러의 적분정리 | 오일러의 적분정리 | ||
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[[오일러 치환|오일러치환]] | [[오일러 치환|오일러치환]] | ||
| − | + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "> | |
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| + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "> | ||
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| + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "><br> | ||
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| + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "><br> | ||
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| + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">그러면 루트 안에 들어가는 차수가 높아지는 <math>\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}</math> 와 같은 경우([[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]])는 어떨까? | ||
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| + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "><math>y^2=1-x^4</math> 를 유리함수로 매개화할 수 있다면, 부정적분을 구할 수 있지 않을까?<br> | ||
| − | + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">하지만 애석하게도 그러한 유리함수로의 매개화는 존재하지 않는다!!! | |
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| − | + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">이러한 적분이 바로 19세기의 수학계를 뜨겁게 달구었던 타원적분이다. <br> | |
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| − | + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "><br> | |
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| − | + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "> | |
| − | 일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 [[타원적분(통합됨)|타원적분]]이라 부른다. <br> | + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 [[타원적분(통합됨)|타원적분]]이라 부른다. <br> |
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<math>\int R(x,y)\,dx</math> | <math>\int R(x,y)\,dx</math> | ||
여기서 <math>R(x,y)</math>는 <math>x,y</math>의 유리함수이고, <math>y^2</math>는 <math>x</math>의 3차식 또는 4차식으로 주어짐.<br> | 여기서 <math>R(x,y)</math>는 <math>x,y</math>의 유리함수이고, <math>y^2</math>는 <math>x</math>의 3차식 또는 4차식으로 주어짐.<br> | ||
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| + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "> | ||
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| + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "><br> | ||
| − | + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">타원적분이라는 말은 타원의 둘레의 길이를 구하는 문제로부터 기원했다고 전해진다. | |
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| − | + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">타원 <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>의 둘레의 길이가 <math>4aT(k)</math> 로 주어지기 때문이다. 여기서 <math>k,T(k)</math> 는 다음과 같다. <br> | |
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<math>k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}</math><br> | <math>k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}</math><br> | ||
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<math>T(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx</math><br> | <math>T(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx</math><br> | ||
| − | <br> | + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; "><br> |
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| − | + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">이렇게 하여 이 글을 착실하게 읽은 사람들은 모두 타원적분의 세계로 가는 문 앞에 서게 되었다. 이렇듯 삼각치환을 가르칠 때에도 아이들을 넓고 넓은 타원적분의 세계로 꼬셔올 수 있는 순간은 존재한다. <br> | |
| − | + | -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">나는 비율판정법을 말할 때에는 [[초기하급수(Hypergeometric series)|초기하급수(Hypergeometric series)와 q-초기하급수]] 를 말하고, 삼각치환을 말할 때에는 [[타원적분(통합됨)|타원적분]]을 말해주는 교육을 꿈꾼다. | |
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<math>\int_0^P{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}dz</math> | <math>\int_0^P{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}dz</math> | ||
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이 함수를 제대로 이해하려면, 적어도 세 가지를 이해해야 한다. | 이 함수를 제대로 이해하려면, 적어도 세 가지를 이해해야 한다. | ||
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첫번째 | 첫번째 | ||
<math>\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}</math> 는 어떤 공간에 정의된 함수인가? 이것은 2 sheeted 리만 곡면에 정의된 함수이다. | <math>\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}</math> 는 어떤 공간에 정의된 함수인가? 이것은 2 sheeted 리만 곡면에 정의된 함수이다. | ||
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두번째 | 두번째 | ||
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한가지 달라지는 것은 P는 무한대 점이 될 수 없다는 것이다. | 한가지 달라지는 것은 P는 무한대 점이 될 수 없다는 것이다. | ||
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세번째 | 세번째 | ||
이 함수의 공역은 무엇인가? | 이 함수의 공역은 무엇인가? | ||
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<math>\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx=\int_0^{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx</math> | <math>\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx=\int_0^{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx</math> | ||
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<math>\sin\left(x+y\right)=\sin x\cos y +\cos x \sin y</math> | <math>\sin\left(x+y\right)=\sin x\cos y +\cos x \sin y</math> | ||
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이렇게 정의역과 공역을 명확하게 하려는 노력에서 일차적으로 리만곡면이 발견되었고, 아벨-자코비의 이론이 싹트게 된다. | 이렇게 정의역과 공역을 명확하게 하려는 노력에서 일차적으로 리만곡면이 발견되었고, 아벨-자코비의 이론이 싹트게 된다. | ||
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타원적분 타원함수 토러스의 발견 | 타원적분 타원함수 토러스의 발견 | ||
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복소함수와 브랜치컷 | 복소함수와 브랜치컷 | ||
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<math>(z,w)</math> 는 리만곡면의 하나의 점을 나타내는 방식이다. | <math>(z,w)</math> 는 리만곡면의 하나의 점을 나타내는 방식이다. | ||
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<math>\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx</math> 형태의 적분이 주어져 있을때, 이러한 삼각치환들이 잘 되는 이유는 '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하기 때문이다. | <math>\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx</math> 형태의 적분이 주어져 있을때, 이러한 삼각치환들이 잘 되는 이유는 '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하기 때문이다. | ||
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매개화가 왜 되는지는, 나중에 다시 쓰도록 하자. | 매개화가 왜 되는지는, 나중에 다시 쓰도록 하자. | ||
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그러면 루트 안에 들어가는 차수가 높아지는 <math>\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}</math> 와 같은 경우([[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]])는 어떨까? | 그러면 루트 안에 들어가는 차수가 높아지는 <math>\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}</math> 와 같은 경우([[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]])는 어떨까? | ||
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5> | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5> | ||
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q= | * Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q= | ||
* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query= | * 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query= | ||
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">역사</h5> | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">역사</h5> | ||
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q= | * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q= | ||
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | ||
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">메모</h5> | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">메모</h5> | ||
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들</h5> | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들</h5> | ||
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* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]]<br> | * [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]]<br> | ||
* [[단진자의 주기와 타원적분]]<br> | * [[단진자의 주기와 타원적분]]<br> | ||
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5> | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5> | ||
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* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교] | * [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교] | ||
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판] | * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판] | ||
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5> | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5> | ||
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* [http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br> | * [http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br> | ||
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ||
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련논문</h5> | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련논문</h5> | ||
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* http://www.ams.org/mathscinet | * http://www.ams.org/mathscinet | ||
* http://dx.doi.org/ | * http://dx.doi.org/ | ||
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련도서</h5> | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련도서</h5> | ||
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2010년 5월 28일 (금) 05:48 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
유리함수의 적분
\(R(x,y)\)
\(x,y\)
삼각치환과 유리함수를 부분분수로 분해하여 적분하는 기술들을 가르치고 있다.
삼각함수의 적분
삼각함수의 적분은 유리함수의 적분으로 바꿀 수 있다.
- \(R(\cos x, \sin x)\)의 적분다음과 같은 치환적분을 사용
\(t=\tan \frac{x}{2}\), \(\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}\), \(\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\), \(\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\)
\(\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt\)
\(R(\cosh x, \sinh x)\)의 적분
- -bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">다음과 같은 치환적분을 사용
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">\(t=\tanh \frac{x}{2}\), \(\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}\), \(\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}\), \(\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}\)
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">\(\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt\)
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">\(R(x,\sqrt{1-x^2})\)의 적분
- \(x=\cos u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cos x, \sin x)\) 의 적분으로 변화
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">\(R(x,\sqrt{x^2-1})\)의 적분
- \(x=\cosh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">\(R(x,\sqrt{x^2+1})\)의 적분
- \(x=\sinh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">\(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)의 적분
- \(ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\}\) 으로 쓴 다음
- \(ac-b^2\)와 \(a\)의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">이렇게 각각의 경우에 패턴에 따라서, 요렇게 풀고, 저렇게 풀고 하는 방법을 아는 것으로 끝난다면, 이것은 공돌이들의 미적분학 이해와 다를 수 없다.
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">중요한 것은 각각의 패턴을 관통하는 통일적인 원리의 이해인데, 이런 것이 바른 학습이라고 하겠다.
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">\(\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx\) 형태의 적분이 주어져 있을때, 이러한 삼각치환들이 잘 되는 이유는 ’이차곡선은 유리함수로 매개화 가능’ 하기 때문이다.
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">즉, \(y^2=ax^2+bx+c\) 라는 곡선을, 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\) 형태로 매개화할 수 있기 때문이다.
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">매개화가 왜 되는지는, 나중에 다시 쓰도록 하자.
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">
삼각치환이 작동하는 배경에는 다음과 같은 심오한 정리가 자리잡고 있다.
오일러의 적분정리
임의의 2변수 유리함수 \(R(x,y)\) 에 대하여, \(\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx\) 는 언제나 초등함수로 표현이 가능하다.
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">
이 정리가 성립하는 이유는, 근본적으로 2차곡선이 일변수의 유리함수로 매개화가 가능하기 때문이고, 이것은 위상수학의 개념을 가지고 와서야 비로소 명료하게 이해될 수 있다.
위의 정리가 적용되는 적분 \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\) 와 초등함수로는 표현되지 않는 적분 \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 사이의 넘을 수 없는 세계는, 이들 적분과 관련되어 있는 곡면의 구멍이 몇 개인가로 나누어진다.
무미건조한 미적분학 책을 통해서는 도저히 배울 수 없는, 부정적분과 위상수학의 보이지 않는 관계!
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">그러면 루트 안에 들어가는 차수가 높아지는 \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 와 같은 경우(lemniscate 곡선의 길이와 타원적분)는 어떨까?
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">\(y^2=1-x^4\) 를 유리함수로 매개화할 수 있다면, 부정적분을 구할 수 있지 않을까?
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">하지만 애석하게도 그러한 유리함수로의 매개화는 존재하지 않는다!!!
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">이러한 적분이 바로 19세기의 수학계를 뜨겁게 달구었던 타원적분이다.
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 타원적분이라 부른다.
\(\int R(x,y)\,dx\)
여기서 \(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수이고, \(y^2\)는 \(x\)의 3차식 또는 4차식으로 주어짐.
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">타원적분이라는 말은 타원의 둘레의 길이를 구하는 문제로부터 기원했다고 전해진다.
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">타원 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)의 둘레의 길이가 \(4aT(k)\) 로 주어지기 때문이다. 여기서 \(k,T(k)\) 는 다음과 같다.
\(k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(T(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">이렇게 하여 이 글을 착실하게 읽은 사람들은 모두 타원적분의 세계로 가는 문 앞에 서게 되었다. 이렇듯 삼각치환을 가르칠 때에도 아이들을 넓고 넓은 타원적분의 세계로 꼬셔올 수 있는 순간은 존재한다.
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">나는 비율판정법을 말할 때에는 초기하급수(Hypergeometric series)와 q-초기하급수 를 말하고, 삼각치환을 말할 때에는 타원적분을 말해주는 교육을 꿈꾼다.
이 공부에는 유비(analogy)적인 생각이 매우 유용하다.
무리함수적분 사인함수 원의 발견
\(\int_0^P{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}dz\)
이 함수를 제대로 이해하려면, 적어도 세 가지를 이해해야 한다.
첫번째
\(\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}\) 는 어떤 공간에 정의된 함수인가? 이것은 2 sheeted 리만 곡면에 정의된 함수이다.
두번째
\(\int_0^P{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}dz\) 는 그럼 또 어떤 공간에 정의된 함수인가?
P 역시 2 sheeted 리만 곡면에서 정의되어 있다. 다만 이 값은 경로에 의존할 것이다.
한가지 달라지는 것은 P는 무한대 점이 될 수 없다는 것이다.
세번째
이 함수의 공역은 무엇인가?
\(\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx=\int_0^{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx\)
\(\arcsin x+\arcsin y=\arcsin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})\)
\(\sin\left(x+y\right)=\sin x\cos y +\cos x \sin y\)
이렇게 정의역과 공역을 명확하게 하려는 노력에서 일차적으로 리만곡면이 발견되었고, 아벨-자코비의 이론이 싹트게 된다.
타원적분 타원함수 토러스의 발견
복소함수와 브랜치컷
하나의 브랜치가 고정되었다고 하자.
\(w=f(z)\)
\((z,w)\) 는 리만곡면의 하나의 점을 나타내는 방식이다.
\(\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx\) 형태의 적분이 주어져 있을때, 이러한 삼각치환들이 잘 되는 이유는 '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하기 때문이다.
즉, \(y^2=ax^2+bx+c\) 라는 곡선을, 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\) 형태로 매개화할 수 있기 때문이다.
매개화가 왜 되는지는, 나중에 다시 쓰도록 하자.
그러면 루트 안에 들어가는 차수가 높아지는 \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 와 같은 경우(lemniscate 곡선의 길이와 타원적분)는 어떨까?
\(y^2=1-x^4\) 를 유리함수로 매개화할 수 있다면, 부정적분을 구할 수 있지 않을까?
하지만 애석하게도 그러한 유리함수로의 매개화는 존재하지 않는다!!!
이러한 적분이 바로 19세기의 수학계를 뜨겁게 달구었던 타원적분이다.
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
역사
메모
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