타원함수

개요

• 이중주기를 갖는 복소함수.
• 주기성을 갖는 삼각함수는 원 위에 정의된 함수로 이해할 수 있듯이, 타원함수는 토러스 위에 정의된 함수로 생각할 수 있음.
• 아벨과 자코비에 의해 체계화
• 자코비 세타함수를 통해서도 이론을 구성할 수 있음.

바이어슈트라스의 타원함수

• [[바이어슈트라스 타원함수 \[WeierstrassP]|바이어슈트라스의 타원함수]] 항목 참조
  

삼각함수와 타원함수

• 타원함수는 두 세타함수의 비(quotient)로 얻어짐.
• 이러한 관점에서 \(\sin z\), \(\cos z\) 를 타원함수에 비유할 수 있고, \(\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}\) 를 타원함수에 비유할 수 있음.
• \(\sin (z+\pi)=-\sin z\), \(\cos (z+\pi)=-\cos z\) 는 \(\chi : \mathhbb{Z} \to \{\pm1\}\) 로 주어지는 modular form
  
  • 타원함수의 무한곱표현과 유사한 \(\sin z\), \(\cos z\) 의 무한곱표현도 있음.
• 둘의 비를 취함으로써, \(\tan (z+\pi)=\tan z\) 주기함수를 얻는다.

상위 주제

• 타원적분, 타원함수, 타원곡선
  
  • lemniscate 적분
    
  • 란덴변환(Landen's transformation)
    
  • 타원곡선
    
  • 타원적분
    
  • 타원함수
    
  • 페르마의 마지막 정리
    

 

하위페이지

• 타원함수
  
  • 바이어슈트라스의 타원함수