"반사 변환"의 두 판 사이의 차이
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* 법벡터를 $\alpha\neq 0$로 갖는 초평면 $H_{\alpha,c}=\{x\in \mathbb{R}^n|\alpha\cdot x=c\}$을 생각하자 | * 법벡터를 $\alpha\neq 0$로 갖는 초평면 $H_{\alpha,c}=\{x\in \mathbb{R}^n|\alpha\cdot x=c\}$을 생각하자 | ||
* 벡터 $x$를 $H_{\alpha,c}$에 반사시켰을 때 얻어지는 벡터를 $x'$라 하자 | * 벡터 $x$를 $H_{\alpha,c}$에 반사시켰을 때 얻어지는 벡터를 $x'$라 하자 | ||
| − | * 임의의 점 $x_0\in H_{\alpha,c}$를 선택하면, 벡터 $x-x_0 | + | * 임의의 점 $x_0\in H_{\alpha,c}$를 선택하면, 벡터 $x-x_0$의 $H_{\alpha,c}$에 수직한 성분은 |
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\frac{(x-x_0)\cdot \alpha}{|\alpha|^2}\alpha=\frac{x\cdot \alpha-c}{|\alpha|^2}\alpha | \frac{(x-x_0)\cdot \alpha}{|\alpha|^2}\alpha=\frac{x\cdot \alpha-c}{|\alpha|^2}\alpha | ||
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x'=x-(x\cdot\alpha^{\vee})\alpha+c\alpha^{\vee} | x'=x-(x\cdot\alpha^{\vee})\alpha+c\alpha^{\vee} | ||
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==특수한 경우== | ==특수한 경우== | ||
2013년 2월 1일 (금) 13:49 판
개요
- n 차원 공간의 초평면에 대한 반사
벡터 해석학을 이용한 반사 공식의 유도
- 법벡터를 $\alpha\neq 0$로 갖는 초평면 $H_{\alpha,c}=\{x\in \mathbb{R}^n|\alpha\cdot x=c\}$을 생각하자
- 벡터 $x$를 $H_{\alpha,c}$에 반사시켰을 때 얻어지는 벡터를 $x'$라 하자
- 임의의 점 $x_0\in H_{\alpha,c}$를 선택하면, 벡터 $x-x_0$의 $H_{\alpha,c}$에 수직한 성분은
$$ \frac{(x-x_0)\cdot \alpha}{|\alpha|^2}\alpha=\frac{x\cdot \alpha-c}{|\alpha|^2}\alpha $$ 로 주어진다
- 따라서
$$ x'=x-\frac{2x\cdot \alpha}{|\alpha|^2}\alpha+\frac{2c}{|\alpha|^2}\alpha $$
- $\alpha^{\vee}=\frac{2\alpha}{|\alpha|^2}$로 두면, 다음과 같이 표현된다
$$ x'=x-(x\cdot\alpha^{\vee})\alpha+c\alpha^{\vee} $$
특수한 경우
- $c=0$이고 $\alpha=\left(\cos (\theta ),\sin (\theta )\right)$ 이면, 반사변환은 선형사상으로 다음 행렬로 표현된다
\[\left( \begin{array}{cc} -\cos (2 \theta ) & -\sin (2 \theta ) \\ -\sin (2 \theta ) & \cos (2 \theta ) \end{array} \right)\]
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