게이지 이론

개요

• 입자물리의 언어
• 국소적인(local) 게이지 불변성으로부터 게이지 보존(힘을 매개하는 입자)의 등장과 물질과 힘의 상호작용을 설명

 

 

local 게이지 불변성과 photon

• \(\psi\) 는 디랙 field (전자를 나타내는 장)
• 디랙 방정식\((-i\gamma^\mu\partial_\mu + m) \psi = 0\)
• 상호작용이 없는 라그랑지안 \(\mathcal{L} = i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi -m \bar{\psi} \psi\) 로 시작하자
  
  • 여기서 \(\bar{\psi}= \psi^{\dagger} \gamma^0 \) Dirac adjoint, \(\gamma^{0}\)는 디랙 행렬
    
• 라그랑지안이  \(U(1)\) - local gauge invariance, 즉 \(\psi(x) \to e^{i\alpha(x)}\psi(x)\) 에 의해 불변이 되도록 하려한다
  
• 게이지 불변성을 얻기 위해서는, 새로운 게이지 장을 도입하여, 다음과 같은 라그랑지안을 얻는다\[\mathcal{L}=i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi - q \bar{\psi}\gamma^{\mu} A_{\mu} \psi -m \bar{\psi} \psi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\]
  
• 라그랑지안에 새로 도입된 \(q \bar{\psi}\gamma^{\mu} A_{\mu} \psi\) 항은 전자와 광자의 상호작용을 기술한다
• 미분형식과 맥스웰 방정식 항목 참조

 

양-밀스 이론

• 리대수 $\mathfrak{g}$의 생성원과 구조상수

$$ \ [T_a,T_b]=f_{ab}^{c}T_c $$

• 게이지 포텐셜 $\mathfrak{g}$-valued 1-form

$$ A=A_{\mu}^{a}dx^{\mu}T_{a} $$

• field strength 텐서 $\mathfrak{g}$-valued 2-form

$$ F=\frac{1}{2}F^{a}_{\mu \nu}dx^{\mu}\wedge dx^{\nu} T_a $$ $$ F_{\mu \nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a-i g f_{bc}^{a}A_\mu^bA_\nu^c $$

• http://en.wikipedia.org/wiki/Structure_constants
• http://en.wikipedia.org/wiki/Yang%E2%80%93Mills_theory

 

역사

• 192? 헤르만 바일
• 1954 양-밀스
• 1964 힉스
• 1967 Steven Weinberg, Abdus Salam and John Ward proposed a local gauge theory, SU(2) x U(1), for a unified description of electromagnetic and weak interactions, with a Higgs mechanism to give mass to the (weak) field quanta. http://cerncourier.com/cws/article/cern/28849
• 1971 토프트 renomalization of electroweak theory
• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

 

 

메모

"…That non-Abelian gauge fields are conceptually identical to ideas in the beautiful theory of fiber bundles, developed by the mathematicians without reference to the physical world, was a great marvel to me. In 1975 I discussed my feelings with Chern, and said, this is both thrilling and puzzling, since you mathematicians dreamed up these concepts out of nowhere." He immediately protested: "No, no. These concepts were not dreamed up. They were natural and real."

C. N. Yang; "magnetic monopoles, fiber bundles, and gauge fields’ Selected Papers C.N. Yang.

• http://bomber0.byus.net/index.php/2009/06/24/1336
• Yang-Mills theory
• QED
• electroweak theory
  
  • weak interaction - SU(2) symmetry, doublets of leptons and quarks
• QCD SU(3) color symmetry
• standard model

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

관련된 항목들

• 접속 (connection)

 

수학용어번역

• gauge - 대한수학회 수학용어집

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Yang–Mills_theory
• http://www.scholarpedia.org/article/Gauge_invariance

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• Samuel Marateck, The Differential Geometry and Physical Basis for the Applications of Feynman Diagrams http://arxiv.org/abs/physics/0603016