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==local 게이지 불변성과 photon==
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==국소 게이지 불변성과 photon==
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===맥스웰 방정식의 게이지 불변성===
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* 상호작용이 없는 전자기장의 라그랑지안은 다음과 같다
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$$\mathcal{L}_{\text{EM}}= - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$
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이 때 <math>F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!</math>는 전자기텐서, $A=(A_{\mu})$는 전자기 포텐셜
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* 라그랑지안은 전자기 포텐셜의 다음과 같은 변환에 대하여 불변이다
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:<math>A_{\mu}(x) \to A_{\mu}(x)-\partial_{\mu}\alpha(x)</math>
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여기서 $\alpha(x)$는 임의의 스칼라장
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* [[맥스웰 방정식의 게이지 불변성]] 항목 참조
  
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===QED 라그랑지안과 국소 게이지 불변성===
 
* <math>\psi</math> 는 디랙 field (전자를 나타내는 장)
 
* <math>\psi</math> 는 디랙 field (전자를 나타내는 장)
 
* [[디랙 방정식]]<math>(-i\gamma^\mu\partial_\mu + m) \psi = 0</math>
 
* [[디랙 방정식]]<math>(-i\gamma^\mu\partial_\mu + m) \psi = 0</math>
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*  상호작용이 없는 라그랑지안 <math>\mathcal{L} = i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi  -m \bar{\psi} \psi</math> 로 시작하자<br>
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*  상호작용이 없는 라그랑지안  
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** 여기서 <math>\bar{\psi}=  \psi^{\dagger} \gamma^0 </math> Dirac adjoint, <math>\gamma^{0}</math>는 [[디랙 행렬]]<br>
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:<math>\mathcal{L}_{\text{free}} = i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi  -m \bar{\psi} \psi+\mathcal{L}_{\text{EM}}</math> 로 시작하자
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*  라그랑지안이  <math>U(1)</math> - local gauge invariance, 즉 
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** 여기서 <math>\bar{\psi}=  \psi^{\dagger} \gamma^0 </math> Dirac adjoint, <math>\gamma^{\mu}</math>는 [[디랙 행렬]]
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*  라그랑지안이 <math>U(1)</math> - 국소 게이지 불변, 즉 
 
:<math>\psi(x) \to  e^{i\alpha(x)}\psi(x)</math> 에 의해 불변이 되도록 하려한다
 
:<math>\psi(x) \to  e^{i\alpha(x)}\psi(x)</math> 에 의해 불변이 되도록 하려한다
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*  게이지 불변성을 얻기 위해서는, 새로운 게이지 장 $A=(A_{\mu})$을 도입하여, 다음과 같은 라그랑지안을 얻는다
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*  라그랑지안에 적당한 항을 더하면, 게이지 불변성을 얻게 된다
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:<math>\mathcal{L}=i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi -  q \bar{\psi}\gamma^{\mu} A_{\mu} \psi -m \bar{\psi} \psi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}</math>
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:<math>\mathcal{L}_{\text{int}}=\mathcal{L}_{\text{free}}+q \bar{\psi}\gamma^{\mu} A_{\mu} \psi =i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi -  q \bar{\psi}\gamma^{\mu} A_{\mu} \psi -m \bar{\psi} \psi+\mathcal{L}_{\text{EM}}</math>
 
* 이 때 게이지장(전자기장)의 게이지 변환은 다음과 같이 주어진다
 
* 이 때 게이지장(전자기장)의 게이지 변환은 다음과 같이 주어진다
 
:<math>A_{\mu}(x) \to A_{\mu}(x)-\frac{1}{q}\partial_{\mu}\alpha(x)</math>
 
:<math>A_{\mu}(x) \to A_{\mu}(x)-\frac{1}{q}\partial_{\mu}\alpha(x)</math>
 
* 라그랑지안에 새로 도입된 <math>q \bar{\psi}\gamma^{\mu} A_{\mu} \psi</math> 항은 전자와 광자의 상호작용을 기술한다
 
* 라그랑지안에 새로 도입된 <math>q \bar{\psi}\gamma^{\mu} A_{\mu} \psi</math> 항은 전자와 광자의 상호작용을 기술한다
 
* http://physics.stackexchange.com/questions/50084/geometrical-significance-of-gauge-invariance-of-the-qed-lagrangian
 
* http://physics.stackexchange.com/questions/50084/geometrical-significance-of-gauge-invariance-of-the-qed-lagrangian
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* [[미분형식과 맥스웰 방정식]] 항목 참조
 
  
 
 
 
 

2013년 3월 23일 (토) 04:04 판

개요

  • 입자물리의 언어
  • 국소적인(local) 게이지 불변성으로부터 게이지 보존(힘을 매개하는 입자)의 등장과 입자 사이의 상호작용을 설명

 

 

국소 게이지 불변성과 photon

맥스웰 방정식의 게이지 불변성

  • 상호작용이 없는 전자기장의 라그랑지안은 다음과 같다

$$\mathcal{L}_{\text{EM}}= - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$ 이 때 \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!\)는 전자기텐서, $A=(A_{\mu})$는 전자기 포텐셜

  • 라그랑지안은 전자기 포텐셜의 다음과 같은 변환에 대하여 불변이다

\[A_{\mu}(x) \to A_{\mu}(x)-\partial_{\mu}\alpha(x)\] 여기서 $\alpha(x)$는 임의의 스칼라장


QED 라그랑지안과 국소 게이지 불변성

  • \(\psi\) 는 디랙 field (전자를 나타내는 장)
  • 디랙 방정식\((-i\gamma^\mu\partial_\mu + m) \psi = 0\)
  • 상호작용이 없는 라그랑지안

\[\mathcal{L}_{\text{free}} = i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi -m \bar{\psi} \psi+\mathcal{L}_{\text{EM}}\] 로 시작하자

    • 여기서 \(\bar{\psi}= \psi^{\dagger} \gamma^0 \) Dirac adjoint, \(\gamma^{\mu}\)는 디랙 행렬
  • 라그랑지안이 \(U(1)\) - 국소 게이지 불변, 즉 

\[\psi(x) \to e^{i\alpha(x)}\psi(x)\] 에 의해 불변이 되도록 하려한다

  • 라그랑지안에 적당한 항을 더하면, 게이지 불변성을 얻게 된다

\[\mathcal{L}_{\text{int}}=\mathcal{L}_{\text{free}}+q \bar{\psi}\gamma^{\mu} A_{\mu} \psi =i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi - q \bar{\psi}\gamma^{\mu} A_{\mu} \psi -m \bar{\psi} \psi+\mathcal{L}_{\text{EM}}\]

  • 이 때 게이지장(전자기장)의 게이지 변환은 다음과 같이 주어진다

\[A_{\mu}(x) \to A_{\mu}(x)-\frac{1}{q}\partial_{\mu}\alpha(x)\]

 

양-밀스 이론

  • 리대수 $\mathfrak{g}$의 생성원과 구조상수

$$ \ [T_a,T_b]=f_{ab}^{c}T_c $$

  • 게이지 포텐셜 $\mathfrak{g}$-valued 1-form

$$ A=A_{\mu}^{a}dx^{\mu}T_{a} $$

  • field strength 텐서 $\mathfrak{g}$-valued 2-form

$$ F=\frac{1}{2}F^{a}_{\mu \nu}dx^{\mu}\wedge dx^{\nu} T_a $$ $$ F_{\mu \nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a-i g f_{bc}^{a}A_\mu^bA_\nu^c $$


 

역사

 

 

메모

"…That non-Abelian gauge fields are conceptually identical to ideas in the beautiful theory of fiber bundles, developed by the mathematicians without reference to the physical world, was a great marvel to me. In 1975 I discussed my feelings with Chern, and said, this is both thrilling and puzzling, since you mathematicians dreamed up these concepts out of nowhere." He immediately protested: "No, no. These concepts were not dreamed up. They were natural and real."

C. N. Yang; "magnetic monopoles, fiber bundles, and gauge fields’ Selected Papers C.N. Yang.

 

관련된 항목들

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스


수학용어번역

  • gauge - 대한수학회 수학용어집


 

사전 형태의 자료


 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 


 

 

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