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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소== |
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요== |
* [[구면기하학]]의 모델 | * [[구면기하학]]의 모델 | ||
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| − | ==매개화 | + | ==매개화== |
* 3차원상의 반지름이 R인 구면 <math> x^2+y^2+z^2 = R^2</math> | * 3차원상의 반지름이 R인 구면 <math> x^2+y^2+z^2 = R^2</math> | ||
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| − | ==제1기본형식 (메트릭 텐서) | + | ==제1기본형식 (메트릭 텐서)== |
* <math>E=R^2\sin^2 v</math> | * <math>E=R^2\sin^2 v</math> | ||
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| − | ==크리스토펠 기호 | + | ==크리스토펠 기호== |
* [[크리스토펠 기호]] 항목 참조<br><math>\Gamma^1_{11}=0</math><br><math>\Gamma^1_{12}=\cot v</math><br><math>\Gamma^1_{21}=\cot v</math><br><math>\Gamma^1_{22}=0</math><br><math>\Gamma^2_{11}=-\sin v \cos v</math><br><math>\Gamma^2_{12}=0</math><br><math>\Gamma^2_{21}=0</math><br><math>\Gamma^2_{22}=0</math><br> | * [[크리스토펠 기호]] 항목 참조<br><math>\Gamma^1_{11}=0</math><br><math>\Gamma^1_{12}=\cot v</math><br><math>\Gamma^1_{21}=\cot v</math><br><math>\Gamma^1_{22}=0</math><br><math>\Gamma^2_{11}=-\sin v \cos v</math><br><math>\Gamma^2_{12}=0</math><br><math>\Gamma^2_{21}=0</math><br><math>\Gamma^2_{22}=0</math><br> | ||
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| − | ==리만 곡률 텐서 | + | ==리만 곡률 텐서== |
* [[리만 곡률 텐서]]<br><math>\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_{111}^1 & 0 \\ R_{112}^1 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^1 & 0 \\ R_{122}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^1 & 0 \\ R_{212}^1 & 1 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^1 & -1 \\ R_{222}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{111}^2 & 0 \\ R_{112}^2 & -\sin ^2(v) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^2 & \sin ^2(v) \\ R_{122}^2 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^2 & 0 \\ R_{212}^2 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^2 & 0 \\ R_{222}^2 & 0 \end{array} \end{array}</math><br> | * [[리만 곡률 텐서]]<br><math>\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_{111}^1 & 0 \\ R_{112}^1 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^1 & 0 \\ R_{122}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^1 & 0 \\ R_{212}^1 & 1 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^1 & -1 \\ R_{222}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{111}^2 & 0 \\ R_{112}^2 & -\sin ^2(v) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^2 & \sin ^2(v) \\ R_{122}^2 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^2 & 0 \\ R_{212}^2 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^2 & 0 \\ R_{222}^2 & 0 \end{array} \end{array}</math><br> | ||
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| − | ==측지선 | + | ==측지선== |
* [[측지선]] 이 만족시키는 미분방정식<br><math>\frac{d^2\alpha_k }{dt^2} + \Gamma^{k}_{~i j }\frac{d\alpha_i }{dt}\frac{d\alpha_j }{dt} = 0</math><br> | * [[측지선]] 이 만족시키는 미분방정식<br><math>\frac{d^2\alpha_k }{dt^2} + \Gamma^{k}_{~i j }\frac{d\alpha_i }{dt}\frac{d\alpha_j }{dt} = 0</math><br> | ||
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| − | ==가우스곡률 | + | ==가우스곡률== |
* [[가우스 곡률|가우스곡률]] 항목 참조<br><math>K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)</math><br> | * [[가우스 곡률|가우스곡률]] 항목 참조<br><math>K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)</math><br> | ||
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| − | ==라플라시안 | + | ==라플라시안== |
* 위의 좌표계에서 <math>u=\phi,v=\theta</math> 로 생각하자.<br> | * 위의 좌표계에서 <math>u=\phi,v=\theta</math> 로 생각하자.<br> | ||
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| − | ==메모 | + | ==메모== |
* http://users-phys.au.dk/fedorov/nucltheo/GTR/09/note6.pdf | * http://users-phys.au.dk/fedorov/nucltheo/GTR/09/note6.pdf | ||
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| − | ==관련된 항목들 | + | ==관련된 항목들== |
* [[미분기하학]] | * [[미분기하학]] | ||
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| − | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스 | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== |
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYWZjZjFkNWEtNTVlNC00OTVjLWJhMDMtODc1NjgyMGQ1OTA5&sort=name&layout=list&num=50 | * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYWZjZjFkNWEtNTVlNC00OTVjLWJhMDMtODc1NjgyMGQ1OTA5&sort=name&layout=list&num=50 | ||
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| − | ==사전 형태의 자료 | + | ==사전 형태의 자료== |
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
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| − | ==관련논문 | + | ==관련논문== |
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | ||
* http://dx.doi.org/ | * http://dx.doi.org/ | ||
2012년 11월 1일 (목) 11:26 판
이 항목의 스프링노트 원문주소==
개요==
- 구면기하학의 모델
매개화
- 3차원상의 반지름이 R인 구면 \( x^2+y^2+z^2 = R^2\)
- 매개화
\(X(u,v)=R(\cos u \sin v, \sin u \sin v, \cos v)\)
\(0<u<2\pi\), \(0<v<\pi\)
- \(X_u=R(- \sin u \sin v , \cos u \sin v ,0)\)
\(X_v=R( \cos u \cos v , \sin u \cos v ,-\sin v)\)
\(N=(-\cos u \sin v, -\sin u \sin v, -\cos v)\)
\(X_{uu}=R(-\cos u \sin v , -\sin u \sin v ,0)\)
\(X_{uv}=R(-\cos v \sin u , \cos u \cos v , 0)\)
\(X_{vv}=R(- \cos u \sin v , - \sin u \sin v , - \cos v )\)
제1기본형식 (메트릭 텐서)
- \(E=R^2\sin^2 v\)
- \(F=0\)
- \(G=R^2\)
크리스토펠 기호
- 크리스토펠 기호 항목 참조
\(\Gamma^1_{11}=0\)
\(\Gamma^1_{12}=\cot v\)
\(\Gamma^1_{21}=\cot v\)
\(\Gamma^1_{22}=0\)
\(\Gamma^2_{11}=-\sin v \cos v\)
\(\Gamma^2_{12}=0\)
\(\Gamma^2_{21}=0\)
\(\Gamma^2_{22}=0\)
리만 곡률 텐서
- 리만 곡률 텐서
\(\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_{111}^1 & 0 \\ R_{112}^1 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^1 & 0 \\ R_{122}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^1 & 0 \\ R_{212}^1 & 1 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^1 & -1 \\ R_{222}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{111}^2 & 0 \\ R_{112}^2 & -\sin ^2(v) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^2 & \sin ^2(v) \\ R_{122}^2 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^2 & 0 \\ R_{212}^2 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^2 & 0 \\ R_{222}^2 & 0 \end{array} \end{array}\)
- covariant tensor
\(\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_{1111} & 0 \\ R_{1112} & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{1121} & 0 \\ R_{1122} & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{1211} & 0 \\ R_{1212} & R^2 \sin ^2(v) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{1221} & -R^2 \sin ^2(v) \\ R_{1222} & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{2111} & 0 \\ R_{2112} & -R^2 \sin ^2(v) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{2121} & R^2 \sin ^2(v) \\ R_{2122} & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{2211} & 0 \\ R_{2212} & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{2221} & 0 \\ R_{2222} & 0 \end{array} \end{array}\)
측지선
- 측지선 이 만족시키는 미분방정식
\(\frac{d^2\alpha_k }{dt^2} + \Gamma^{k}_{~i j }\frac{d\alpha_i }{dt}\frac{d\alpha_j }{dt} = 0\)
- 풀어쓰면,
\(\frac{d^2 u}{dt^2} + 2\Gamma^{1}_{~1 2 }\frac{du }{dt}\frac{dv }{dt} = 0\)
\(\frac{d^2 v}{dt^2} + \Gamma^{2}_{~1 1 }\frac{du }{dt}\frac{du }{dt} = 0\)
가우스곡률
- 가우스곡률 항목 참조
\(K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)\)
- 반지름 R인 구면의 가우스곡률
\(K=\frac{1}{R^2}\)
라플라시안
- 위의 좌표계에서 \(u=\phi,v=\theta\) 로 생각하자.
- 라플라시안
\(\Delta f = {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}={1 \over r^2 }({\partial^2 f \over \partial \theta^2} +\cot\theta {\partial f \over \partial \theta} + \frac{1}{ \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2})\)
역사
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYWZjZjFkNWEtNTVlNC00OTVjLWJhMDMtODc1NjgyMGQ1OTA5&sort=name&layout=list&num=50
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=sphere
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/sphere
- http://mathworld.wolfram.com/GreatCircle.html
관련논문
- 구면기하학의 모델
\(X(u,v)=R(\cos u \sin v, \sin u \sin v, \cos v)\)
\(0<u<2\pi\), \(0<v<\pi\)
\(X_v=R( \cos u \cos v , \sin u \cos v ,-\sin v)\)
\(N=(-\cos u \sin v, -\sin u \sin v, -\cos v)\)
\(X_{uu}=R(-\cos u \sin v , -\sin u \sin v ,0)\)
\(X_{uv}=R(-\cos v \sin u , \cos u \cos v , 0)\)
\(X_{vv}=R(- \cos u \sin v , - \sin u \sin v , - \cos v )\)
\(\Gamma^1_{11}=0\)
\(\Gamma^1_{12}=\cot v\)
\(\Gamma^1_{21}=\cot v\)
\(\Gamma^1_{22}=0\)
\(\Gamma^2_{11}=-\sin v \cos v\)
\(\Gamma^2_{12}=0\)
\(\Gamma^2_{21}=0\)
\(\Gamma^2_{22}=0\)
\(\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_{111}^1 & 0 \\ R_{112}^1 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^1 & 0 \\ R_{122}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^1 & 0 \\ R_{212}^1 & 1 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^1 & -1 \\ R_{222}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{111}^2 & 0 \\ R_{112}^2 & -\sin ^2(v) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^2 & \sin ^2(v) \\ R_{122}^2 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^2 & 0 \\ R_{212}^2 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^2 & 0 \\ R_{222}^2 & 0 \end{array} \end{array}\)
\(\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_{1111} & 0 \\ R_{1112} & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{1121} & 0 \\ R_{1122} & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{1211} & 0 \\ R_{1212} & R^2 \sin ^2(v) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{1221} & -R^2 \sin ^2(v) \\ R_{1222} & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{2111} & 0 \\ R_{2112} & -R^2 \sin ^2(v) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{2121} & R^2 \sin ^2(v) \\ R_{2122} & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{2211} & 0 \\ R_{2212} & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{2221} & 0 \\ R_{2222} & 0 \end{array} \end{array}\)
\(\frac{d^2\alpha_k }{dt^2} + \Gamma^{k}_{~i j }\frac{d\alpha_i }{dt}\frac{d\alpha_j }{dt} = 0\)
\(\frac{d^2 u}{dt^2} + 2\Gamma^{1}_{~1 2 }\frac{du }{dt}\frac{dv }{dt} = 0\)
\(\frac{d^2 v}{dt^2} + \Gamma^{2}_{~1 1 }\frac{du }{dt}\frac{du }{dt} = 0\)
\(K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)\)
\(K=\frac{1}{R^2}\)
\(\Delta f = {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}={1 \over r^2 }({\partial^2 f \over \partial \theta^2} +\cot\theta {\partial f \over \partial \theta} + \frac{1}{ \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2})\)