게이지 이론

개요

• 입자물리의 언어
• 국소적인(local) 게이지 불변성으로부터 게이지 보존(힘을 매개하는 입자)의 등장과 입자 사이의 상호작용을 설명
• 미분기하의 principal bundle과 접속(connection)의 언어를 사용하여 기술할 수 있음

국소 게이지 불변성과 양자전기역학

맥스웰 방정식의 게이지 불변성

• 상호작용이 없는 전자기장의 라그랑지안은 다음과 같다

\[\mathcal{L}_{\text{EM}}= - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\] 이 때 \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!\)는 전자기텐서, \(A=(A_{\mu})\)는 전자기 포텐셜

• 라그랑지안은 전자기 포텐셜의 다음과 같은 변환에 대하여 불변이다

\[A_{\mu}(x) \to A_{\mu}(x)-\partial_{\mu}\alpha(x)\] 여기서 \(\alpha(x)\)는 임의의 스칼라장

• 맥스웰 방정식의 게이지 불변성 항목 참조

QED 라그랑지안과 국소 게이지 불변성

• \(\psi\) 는 디랙 field (전자를 나타내는 장)
• 디랙 방정식\((-i\gamma^\mu\partial_\mu + m) \psi = 0\)
• 상호작용이 없는 라그랑지안

\[\mathcal{L}_{\text{free}} = i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi -m \bar{\psi} \psi+\mathcal{L}_{\text{EM}}\] 로 시작하자. 여기서 \(\bar{\psi}= \psi^{\dagger} \gamma^0 \) Dirac adjoint, \(\gamma^{\mu}\)는 디랙 행렬

• 라그랑지안이 \(U(1)\) - 국소 게이지 불변, 즉

\[\psi(x) \to e^{i\alpha(x)}\psi(x)\] 에 의해 불변이 되도록 하려한다

• 라그랑지안에 적당한 항을 더하면, 게이지 불변성을 얻게 된다

\[\mathcal{L}_{\text{int}}=\mathcal{L}_{\text{free}}+q \bar{\psi}\gamma^{\mu} A_{\mu} \psi =i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi - q \bar{\psi}\gamma^{\mu} A_{\mu} \psi -m \bar{\psi} \psi+\mathcal{L}_{\text{EM}}\]

• 이를 다음과 같이 쓰기도 한다

\[\mathcal{L}_{\text{int}}=i \bar{\psi} \gamma^\mu D_\mu \psi -m \bar{\psi} \psi+\mathcal{L}_{\text{EM}}\] 여기서 \(D_\mu=\partial_\mu + i q A_{\mu}\). 이는 공변미분(covariant derivative)에 해당하며, 게이지장이 접속 (connection) 형식에 해당함을 보여준다

• 이 때 게이지장(전자기장)의 게이지 변환은 다음과 같이 주어진다

\[A_{\mu}(x) \to A_{\mu}(x)-\frac{1}{q}\partial_{\mu}\alpha(x)\]

• 라그랑지안에 새로 도입된 \(q \bar{\psi}\gamma^{\mu} A_{\mu} \psi\) 항은 전자와 광자의 상호작용을 기술한다
• http://physics.stackexchange.com/questions/50084/geometrical-significance-of-gauge-invariance-of-the-qed-lagrangian

양-밀스 이론

• 리대수 \(\mathfrak{g}\)의 생성원과 구조상수

\[ \ [T_a,T_b]=f_{ab}^{c}T_c \]

• 게이지 포텐셜 \(\mathfrak{g}\)-valued 1-form

\[ A=A_{\mu}^{a}dx^{\mu}T_{a} \]

• field strength 텐서 \(\mathfrak{g}\)-valued 2-form

\[ F=\frac{1}{2}F^{a}_{\mu \nu}dx^{\mu}\wedge dx^{\nu} T_a \] \[ F_{\mu \nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a-i g f_{bc}^{a}A_\mu^bA_\nu^c \]

• http://en.wikipedia.org/wiki/Structure_constants
• http://en.wikipedia.org/wiki/Yang%E2%80%93Mills_theory

역사

• 192? 헤르만 바일
• 1954 양-밀스
• 1964 힉스
• 1967 Steven Weinberg, Abdus Salam and John Ward proposed a local gauge theory, SU(2) x U(1), for a unified description of electromagnetic and weak interactions, with a Higgs mechanism to give mass to the (weak) field quanta. http://cerncourier.com/cws/article/cern/28849
• 1971 토프트 renomalization of electroweak theory
• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

메모

"…That non-Abelian gauge fields are conceptually identical to ideas in the beautiful theory of fiber bundles, developed by the mathematicians without reference to the physical world, was a great marvel to me. In 1975 I discussed my feelings with Chern, and said, this is both thrilling and puzzling, since you mathematicians dreamed up these concepts out of nowhere." He immediately protested: "No, no. These concepts were not dreamed up. They were natural and real."

C. N. Yang; "magnetic monopoles, fiber bundles, and gauge fields’ Selected Papers C.N. Yang.

• http://bomber0.byus.net/index.php/2009/06/24/1336
• Yang-Mills theory
• QED
• electroweak theory
  • weak interaction - SU(2) symmetry, doublets of leptons and quarks
• QCD SU(3) color symmetry
• standard model
• http://physics.stackexchange.com/questions/49963/su3-gauge-invariance-in-qcd
• A Survey of Gauge Theory and Yang-Mills Equation

관련된 항목들

• 접속 (connection)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUkxSNFNZdzJZSEU/edit
• 켤레복소수

수학용어번역

• gauge - 대한수학회 수학용어집

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Yang–Mills_theory
• http://www.scholarpedia.org/article/Gauge_invariance

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• Hamilton, M. J. D. “The Higgs Boson for Mathematicians. Lecture Notes on Gauge Theory and Symmetry Breaking.” arXiv:1512.02632 [hep-Th], December 8, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.02632.
• Weatherall, James Owen. ‘Understanding Gauge’. arXiv:1505.02229 [physics], 9 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.02229.
• Jordan, François, Lazzarini Serge, and Masson Thierry. 2014. “Gauge Field Theories: Various Mathematical Approaches.” arXiv:1404.4604 [hep-Th, Physics:math-Ph], April. http://arxiv.org/abs/1404.4604.
• Samuel Marateck, The Differential Geometry and Physical Basis for the Applications of Feynman Diagrams http://arxiv.org/abs/physics/0603016