미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2012년 10월 31일 (수) 16:33 판 (찾아 바꾸기 – “<h5>” 문자열을 “==” 문자열로)
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개요
  • 미분형식을 통하여 다변수미적분학의 내용을 새롭게 쓸 수 있다
  • 미분연산자와 미분형식
  • 다중적분과 미분형식

 

 

 

==미분연산자

  • 미분연산자
  • \(\operatorname{grad}(f) = \nabla f\) 는 스칼라 함수를 1-형식으로 보낸다
    \(\nabla f=( f_x, f_y,f_z)\) 를 1-형식 \(f_x\, {d}x + f_y\, {d}y+f_z\,dz\) 으로 이해하자.
    \(d_0=\nabla : f\mapsto f_x\, {d}x + f_y\, {d}y+f_z\,dz\)
  • \(\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}\) 는 1-형식을 2-형식으로 보낸다
    벡터장 \(\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)\)을 1-형식 \(F_1dx+F_2dy+F_3dz\)로 이해하자.
    \(\nabla\times \mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) \mathbf{k}\) 는 2-형식 \(\left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) dy\wedge dz + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) dz\wedge dx + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dx\wedge dy\)
    \(d_1=\nabla\times\) 는 1-형식을 2-형식으로 보낸다
    \(F_1dx+F_2dy+F_3dz\mapsto \left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) dy\wedge dz + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) dz\wedge dx + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dx\wedge dy\)
  • \(\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}\)
  • \(\nabla \times (\nabla f)=0\)
  • \(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F})=0\)

 

 

==1-형식의 적분

  • 매개곡선 C:  \(\mathbf{r}(t)=( x(t), y(t), z(t))\), \(a\leq t \leq b\)
  • 1-form \(\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz\)
  • 곡선 C 위에서 1-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다
    \(\int_{C}\omega=\int_{a}^{b}\big{[}P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\big{]}\,dt\)
  • 곡선 C 위에서 1-형식\(\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz\)의 적분은 벡터장\(\mathbf{F}=(P,Q,R)\)의 선적분과 같다
    \(\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}\omega\)

(증명)

\(\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) \, dt=\int_{a}^{b}\big{[}P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\big{]}\,dt=\int_{C}\omega\). ■

 

 

==2-형식의 적분

  • 3차원의 매개곡면 S \[\mathbf{r} (u,v)=( x(u,v), y(u,v), z(u,v))\], \((u,v)\in D\)
  • 2-form \(\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy\)
  • S 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다
    \(\iint_{S}\omega=\iint_D \left[ F_{1} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} + F_{2} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}F_{3} ( \mathbf{r} (u,v)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right]\, du\, dv\)
  • 곡면 S위에서 2-형식 \(\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy\)의 적분은 벡터장\(\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)\)의 적분과 같다
    \(\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_{S}\omega\)

(증명)

 \({\partial \mathbf{r} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{r} \over \partial v}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v))}\right)\) 을 관찰하자.

\(\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_D (F_1,F_2,F_3)\cdot ({\partial \mathbf{x} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial v})\, du\, dv=\iint_{S}\omega\). ■

 

 

==응용1. 스토크스 정리

 

 

==역사

 

 

 

==메모

 

 

==관련된 항목들

 

 

==다른 과목과의 관련성

 

 

수학용어번역

 

 

 

==사전형태의 자료

 

 

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