타원적분론 입문

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개요

삼각치환과 오일러치환 복습
타원적분 입문

유리함수의 적분

\(R(x,y)\)

\(x,y\)

삼각치환과 유리함수를 부분분수로 분해하여 적분하는 기술들을 가르치고 있다.

삼각함수의 적분

삼각함수의 적분은 유리함수의 적분으로 바꿀 수 있다.

\(R(\cos x, \sin x)\)의 적분다음과 같은 치환적분을 사용
\(t=\tan \frac{x}{2}\), \(\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}\), \(\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\), \(\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\)
\(\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt\)

\(R(\cosh x, \sinh x)\)의 적분

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">다음과 같은 치환적분을 사용
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">\(t=\tanh \frac{x}{2}\), \(\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}\), \(\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}\), \(\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}\)
-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">\(\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt\)

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">\(R(x,\sqrt{1-x^2})\)의 적분

\(x=\cos u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cos x, \sin x)\) 의 적분으로 변화

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">\(R(x,\sqrt{x^2-1})\)의 적분

\(x=\cosh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">\(R(x,\sqrt{x^2+1})\)의 적분

\(x=\sinh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">\(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)의 적분

\(ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\}\) 으로 쓴 다음
\(ac-b^2\)와 \(a\)의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">이렇게 각각의 경우에 패턴에 따라서, 요렇게 풀고, 저렇게 풀고 하는 방법을 아는 것으로 끝난다면, 이것은 공돌이들의 미적분학 이해와 다를 수 없다.

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">중요한 것은 각각의 패턴을 관통하는 통일적인 원리의 이해인데, 이런 것이 바른 학습이라고 하겠다.

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">\(\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx\) 형태의 적분이 주어져 있을때, 이러한 삼각치환들이 잘 되는 이유는 ’이차곡선은 유리함수로 매개화 가능’ 하기 때문이다.

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">즉, \(y^2=ax^2+bx+c\) 라는 곡선을, 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\) 형태로 매개화할 수 있기 때문이다.

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">매개화가 왜 되는지는, 나중에 다시 쓰도록 하자.

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">

삼각치환이 작동하는 배경에는 다음과 같은 심오한 정리가 자리잡고 있다.

오일러의 적분정리

임의의 2변수 유리함수 \(R(x,y)\) 에 대하여, \(\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx\) 는 언제나 초등함수로 표현이 가능하다.

오일러치환

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">

이 정리가 성립하는 이유는, 근본적으로 2차곡선이 일변수의 유리함수로 매개화가 가능하기 때문이고, 이것은 위상수학의 개념을 가지고 와서야 비로소 명료하게 이해될 수 있다.

위의 정리가 적용되는 적분 \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\) 와 초등함수로는 표현되지 않는 적분 \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 사이의 넘을 수 없는 세계는, 이들 적분과 관련되어 있는 곡면의 구멍이 몇 개인가로 나누어진다.

무미건조한 미적분학 책을 통해서는 도저히 배울 수 없는, 부정적분과 위상수학의 보이지 않는 관계!

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">그러면 루트 안에 들어가는 차수가 높아지는 \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 와 같은 경우(lemniscate 곡선의 길이와 타원적분)는 어떨까?

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">\(y^2=1-x^4\) 를 유리함수로 매개화할 수 있다면, 부정적분을 구할 수 있지 않을까?

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">하지만 애석하게도 그러한 유리함수로의 매개화는 존재하지 않는다!!!

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">이러한 적분이 바로 19세기의 수학계를 뜨겁게 달구었던 타원적분이다.

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 타원적분이라 부른다.

\(\int R(x,y)\,dx\)

여기서 \(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수이고, \(y^2\)는 \(x\)의 3차식 또는 4차식으로 주어짐.

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">타원적분이라는 말은 타원의 둘레의 길이를 구하는 문제로부터 기원했다고 전해진다.

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">타원 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)의 둘레의 길이가 \(4aT(k)\) 로 주어지기 때문이다. 여기서 \(k,T(k)\) 는 다음과 같다.

\(k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)

\(T(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">이렇게 하여 이 글을 착실하게 읽은 사람들은 모두 타원적분의 세계로 가는 문 앞에 서게 되었다. 이렇듯 삼각치환을 가르칠 때에도 아이들을 넓고 넓은 타원적분의 세계로 꼬셔올 수 있는 순간은 존재한다.

-bottom: 0px; padding-right: 0px; padding-left: 0px; display: block; ">나는 비율판정법을 말할 때에는 초기하급수(Hypergeometric series)와 q-초기하급수 를 말하고, 삼각치환을 말할 때에는 타원적분을 말해주는 교육을 꿈꾼다.

이 공부에는 유비(analogy)적인 생각이 매우 유용하다.

무리함수적분 사인함수 원의 발견

\(\int_0^P{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}dz\)

이 함수를 제대로 이해하려면, 적어도 세 가지를 이해해야 한다.

첫번째

\(\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}\) 는 어떤 공간에 정의된 함수인가? 이것은 2 sheeted 리만 곡면에 정의된 함수이다.

두번째

\(\int_0^P{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}dz\) 는 그럼 또 어떤 공간에 정의된 함수인가?

P 역시 2 sheeted 리만 곡면에서 정의되어 있다. 다만 이 값은 경로에 의존할 것이다.

한가지 달라지는 것은 P는 무한대 점이 될 수 없다는 것이다.

세번째

이 함수의 공역은 무엇인가?

\(\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx=\int_0^{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx\)

\(\arcsin x+\arcsin y=\arcsin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})\)

\(\sin\left(x+y\right)=\sin x\cos y +\cos x \sin y\)

이렇게 정의역과 공역을 명확하게 하려는 노력에서 일차적으로 리만곡면이 발견되었고, 아벨-자코비의 이론이 싹트게 된다.

타원적분 타원함수 토러스의 발견

복소함수와 브랜치컷

하나의 브랜치가 고정되었다고 하자.

\(w=f(z)\)

\((z,w)\) 는 리만곡면의 하나의 점을 나타내는 방식이다.

\(\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx\) 형태의 적분이 주어져 있을때, 이러한 삼각치환들이 잘 되는 이유는 '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하기 때문이다.

즉, \(y^2=ax^2+bx+c\) 라는 곡선을, 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\) 형태로 매개화할 수 있기 때문이다.

매개화가 왜 되는지는, 나중에 다시 쓰도록 하자.

그러면 루트 안에 들어가는 차수가 높아지는 \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 와 같은 경우(lemniscate 곡선의 길이와 타원적분)는 어떨까?

\(y^2=1-x^4\) 를 유리함수로 매개화할 수 있다면, 부정적분을 구할 수 있지 않을까?

하지만 애석하게도 그러한 유리함수로의 매개화는 존재하지 않는다!!!

이러한 적분이 바로 19세기의 수학계를 뜨겁게 달구었던 타원적분이다.

재미있는 사실

Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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