타원적분론 입문

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2012년 11월 1일 (목) 05:16 판 (찾아 바꾸기 – “<h5>” 문자열을 “==” 문자열로)
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개요
  • 타원적분론은 19세기 수학의 중요한 주제이다.
  • 베르누이, 오일러, 르장드르, 가우스, 아벨, 야코비, 리만 등에 의하여 연구되었다.
  • 복소해석학, 리만곡면론의 발전을 이끌었으며, 현대 대수기하학의 궤도에 큰 영향을 주었다.
  • 타원적분의 역함수를 타원함수라 부르며, 이는 역삼각함수와 삼각함수의 관계와 비슷하다. 
  • 지금에 와서는 타원적분보다는 타원함수의 관점에서 이해하는 것이 더 자연스럽다고 여겨진다. 
  • 미적분학에서 다루는 삼각치환과 오일러치환 을 복습하고 그를 바탕으로 타원적분론에 입문해 보자. 

 

 

==노트

 

 

유리함수의 적분

\(R(x,y)\)를 \(x,y\)의 유리함수라고 하자.

유리함수는 부분분수로 분해하여 그 부정적분을 초등함수로 표현할 수 있다.

 

 

 

삼각함수의 적분

삼각함수의 적분은 유리함수의 적분으로 바꿀 수 있으므로, 그 부정적분을 초등함수로 표현할 수 있게 된다. 

\(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수라고 가정하자. 

 

\(R(\cos x, \sin x)\)의 적분

  • 다음과 같은 치환적분을 사용
    \(t=\tan \frac{x}{2}\), \(\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}\), \(\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\), \(\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\)
    \(\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt\)

 

\(R(\cosh x, \sinh x)\)의 적분

  • 다음과 같은 치환적분을 사용
    \(t=\tanh \frac{x}{2}\), \(\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}\), \(\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}\), \(\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}\)
    \(\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt\)

 

 

==이차식에 제곱근이 씌워진 적분

이제 초등함수로 표현할 수 있는 무리함수의 적분을 보도록 하자. 

 

  • \(R(x,\sqrt{1-x^2})\)의 적분
    \(x=\cos u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cos x, \sin x)\) 의 적분으로 변화
  • \(R(x,\sqrt{x^2-1})\)의 적분
    \(x=\cosh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화
  • \(R(x,\sqrt{x^2+1})\)의 적분
    \(x=\sinh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화
  • \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)의 적분
    \(ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\}\) 으로 쓴 다음
  • \(ac-b^2\)와 \(a\)의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.

 

 

==곡선과 유리함수를 이용한 매개화

이렇게 각각의 경우에 패턴에 따라서, 요렇게 풀고, 저렇게 풀고 하는 방법을 아는 것으로 끝난다면, 이것은 공돌이들의 미적분학 이해와 다를 수 없다. 
중요한 것은 각각의 패턴을 관통하는 통일적인 원리의 이해인데, 이런 것이 바른 학습이라고 하겠다. 

\(\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx\) 형태의 적분이 주어져 있을때, 이러한 삼각치환들이 잘 되는 이유는 ’이차곡선은 유리함수로 매개화 가능’ 하기 때문이다. 

 

즉, \(y^2=ax^2+bx+c\) 라는 곡선을, 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\) 형태로 매개화할 수 있기 때문이다. 

가령 단위원의 경우를 보자.

단위원 \(x^2+y^2=1\)의 점들은 다음과 같이 유리함수를 통하여 매개화할 수 있다.

\(x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\), \(y=\frac{2t}{1+t^2}\)

(피타고라스 쌍 참조)

 

 

==오일러의 적분정리

위의 모든 논의를 요약하면, 다음과 같은 '오일러의 적분정리'를 얻는다.  (오일러치환 항목 참조)

 

(정리) 오일러의 적분정리

임의의 2변수 유리함수 \(R(x,y)\) 에 대하여, \(\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx\) 는 언제나 초등함수로 표현이 가능하다.

 

 

타원적분이란?

그러면 이제 제곱근 기호 안에 들어가는 차수가 높아지는  \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 와 같은 경우 (렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분)는 어떨까?

\(y^2=1-x^4\) 를 유리함수로 매개화할 수 있다면, 부정적분을 구할 수 있지 않을까?
하지만 애석하게도 그러한 유리함수로의 매개화는 존재하지 않는다!!!

이러한 적분이 바로 19세기의 수학계를 뜨겁게 달구었던 타원적분이다. 

일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 타원적분이라 부른다. 

 

\(\int R(x,y)\,dx\), 여기서 \(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수, \(y^2\)= 중근을 갖지 않는 \(x\)의 3차식 또는 4차식. 즉 다음과 같은 형태의 적분

 

\(\int R(x,\sqrt{ax^3+bx^2+cx+d}) \,dx\) 또는

\(\int R(x,\sqrt{ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}) \,dx\)

 

 

 

타원적분 예1 

역사적으로 타원 둘레의 길이를 구하는 적분에서 그 이름이 기원했다고 전해진다. 

타원  \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)의 둘레의 길이는 \(4aE(k)\) 로 주어지기 때문이다. 여기서 \(k,E(k)\) 는 다음과 같다. 

\(k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)

\(E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)

마지막 식에서 볼 수 있듯이, 타원둘레의 길이는 

\(R(x,y)=\frac{1-k^2x^2}{y}\) 이고,  \(y^2=(1-x^2)(1-k^2x^2)\) 로 주어지는 타원적분이 된다. 

 

 

 

타원적분 예2

타원적분을 만날 수 있는 또다른 예는 단진자의 주기를 구하는 과정에서다. 

단진자의 운동을 기술하는 미분방정식은 다음과 같이 주어진다. 

\({d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta=0 \)

보통의 경우, 위의 비선형 미분방정식을 근사시켜 선형미분방정식을 얻은뒤, 단진자를 단진동으로 이해하여, 그 주기를 \(2\pi\sqrt\frac{\ell}{g}\) 로 표현한다. 

그러나 실제로 주어진 미분방정식에 대한 진폭이 \(\theta_0\)인 진자의 주기를 구하면, 다음을 얻는다. 

\(T = 4\sqrt{\ell\over {g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin\phi}}\,d\phi\). 여기서 \(k=\frac{A}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta_0}{2}}=\sin\frac{\theta_0}{2}\)

이러한 타원적분은 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind) 으로 불리는데, 위의 예1 에서처럼 적당한 변수치환을 통하여, 타원적분의 정의를 만족시키도록 표현할 수 있다. 

\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)

 

 

==위상수학의 역할

오일러의 적분정리가 성립하는 이유는, 근본적으로 2차곡선이 일변수의 유리함수로 매개화가 가능하기 때문이고, 이것은 위상수학의 개념을 가지고 와서야 비로소 명료하게 이해될 수 있다.

초등함수로 표현할 수 있는 적분 \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\) 와 초등함수로는 표현되지 않는 적분 \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 사이의 넘을 수 없는 세계는, 이들 적분과 관련되어 있는 곡면의 구멍이 몇 개인가로 나누어진다.

다시 말하면, 리만곡면론의 관점에서 복소곡선 \(y^2=1-x^2\)는 위상적으로 구면과 같고, \(y^2=1-x^4\)는 위상적으로 토러스가 된다. 

무미건조한 미적분학 책을 통해서는 도저히 배울 수 없는, 부정적분과 위상수학의 보이지 않는 관계!

 

 

==타원적분에서 타원함수로 (나중에 정리)

  • 타원함수
  • 타원적분의 역함수를 타원함수라 부르며, 이는 역삼각함수와 삼각함수의 관계와 비슷하다. 
  • 야코비 One of his maxims was: 'Invert, always invert' ('man muss immer umkehren')

 

 

역사

 

 

 

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