리만 곡률 텐서

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2012년 11월 2일 (금) 14:56 판
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이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

  • 접속 (connection)\(\nabla\)이 정의되어 있다고 하자
  • 세 개의 벡터장 X,Y,Z 가 주어지면, 새로운 벡터장 R(X,Y)Z 를 얻는다
    \(R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z\)
  • covariant tensor

 

 

리만 곡률 텐서의 성분

  • \({R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = dx^\rho(R(\partial_{\mu},\partial_{\nu})\partial_{\sigma})\)
  • 크리스토펠 기호 를 이용한 성분의 계산
    \({R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}\)
    \({R^l}_{kij} = \partial_i\Gamma^l_{jk} - \partial_j\Gamma^l_{ik} + \Gamma^l_{is}\Gamma^s_{jk} - \Gamma^l_{js}\Gamma^s_{ik}\)
    \(R_{\rho\sigma\mu\nu} = g_{\rho \zeta} {R^\zeta}_{\sigma\mu\nu} .\)

 

 

곡률 2형식

  • \(R(X,Y)\partial_{j}=\Omega_{j}^{s}(X,Y)\partial_s\)
  • \(\,\Omega=d\omega +\frac{1}{2}[\omega,\omega]=d\omega +\omega\wedge \omega\)
  • \(\Omega^i_{j}=d\omega^i_{j} +\sum_k \omega^i_{k}\wedge\omega^k_{j}\)

 

 

 

곡면의 경우

  • 제1기본형식이 \(E=e(u,v),F=0,G=g(u,v)\) 로 주어진 경우, 리만 곡률 텐서는 다음과 같다 (이외의 \( R_{jkl}^i\)는 0이다)
    \( R_{212}^1 = \frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v)^2 g(u,v)}\)
    \(R_{112}^2 = -\frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v) g(u,v)^2}\)
    \(R_{221}^1 = -\frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v)^2 g(u,v)}\)
    \(R_{121}^2 = \frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v) g(u,v)^2}\)

 

 

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