Talk on Siegel theta series and modular forms

수학노트
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review of modular forms

  • $\mathbb{H}=\{\tau\in \mathbb{C}|\Im \tau>0\}$
  • modular group $\Gamma=SL(2, \mathbb Z) = \left \{ \left. \left ( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right )\right| a, b, c, d \in \mathbb Z,\ ad-bc = 1 \right \}$
  • $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{Z})=\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})/\{\pm I\}$ acts on $\mathbb{H}$ by

\[\tau\mapsto\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\]

  • $SL(2, \mathbb Z)$ is generated by $S$ and $T$

\[S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] \[S: \tau\mapsto -1/\tau,T: \tau\mapsto \tau+1\]

def

A holomorphic function $f:\mathbb{H}\to \mathbb{C}$ is a modular form of weight $k$ (w.r.t. $SL(2, \mathbb Z)$) if

  1. \(f \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{k} f(\tau)\)
  2. $f$ is "holomorphic at the cusp", i.e. it has a Fourier expansion of the following form

$$ f(\tau)=\sum_{n=0}^{\infty}c(n)e^{2\pi i n \tau} $$

Eisenstein series

  • for an integer $k\geq 2$, define

$$ G_{2k}(\tau) : =\sum_{(m,n)\in \mathbb{Z}^2\backslash{(0,0)}}\frac{1}{(m+n\tau )^{2k}} $$

  • Eisenstein series : normalization of $G_{2k}$

\[E_{2k}(\tau):=\frac{G_{2k}(\tau)}{2\zeta (2k)}= 1+\frac {2}{\zeta(1-2k)}\left(\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{2k-1}(n)q^{n} \right)\] where $\zeta$ denotes the Riemann zeta function and $\sigma_r(n)=\sum_{d|n}d^r$

  • this is a modular form of weight $2k$
  • for example

\[E_4(\tau)= 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{n}=1 + 240 q + 2160 q^2 + \cdots \] \[E_6(\tau)=1- 504\sum_{n=1}^\infty \sigma_5(n) q^{n}=1 - 504 q - 16632 q^2 - \cdots \]

the space of modular forms

thm

Let $M_k$ be the space of modular forms of weight $k$ and $M:=\bigoplus_{k\in \mathbb{Z}_{\geq 0}} M_k$. We have \[M=\mathbb{C}[E_4,E_6]\]


theta functions

기호

  • $\Lambda\subset \mathbb{R}^n$ $n$차원 격자
  • $M$는 각 행이 $\Lambda$의 기저가 되는 $n\times n$ 행렬
  • $A:=M^tM$는 $\Lambda$의 그램 행렬

definition

  • 격자 $\Lambda$에 대하여, $N_m$를 $\{x\in\Lambda|x\cdot x=m\}$의 원소의 개수로 정의
  • $N_m$는 $\zeta A \zeta^{t} =m$를 만족하는 정수벡터 $\zeta$의 개수로 이해할 수 있다
  • 다시 말해, $\Lambda$에 의해 얻어지는 이차형식이 정수 $m$을 표현하는 방법의 수이다
  • $\Lambda$의 세타함수는 복소상반평면 $\mathcal{H}_1$을 정의역으로 하는 다음과 같은 함수가 된다

$$ \Theta_\Lambda(\tau)=\sum_{x\in\Lambda}q^{\frac{x\cdot x}{2}}=\sum_{m=0}^\infty N_me^{\pi i m \tau}, $$ 여기서 $q=e^{2\pi i \tau}$이고, $\tau\in\mathcal{H}_1$.

  • $\mathbb{Z}$의 세타함수는 자코비 세타함수로 다음과 같다

$$\Theta_{\mathbb{Z}}(\tau)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}q^{m^2/2}=1+2q^{1/2}+2q^{4/2}+2q^{9/2}+\cdots$$

on theta functions of positive definite even unimodular lattices

8차원

$$\theta_{E_8}(\tau)=E_4(\tau)=1+240 q+2160 q^2+6720 q^3+17520 q^4+30240 q^5+\cdots$$

16차원

$$ \theta_{E_8\oplus E_8}(\tau)=\theta_{D_{16}^{+}}(\tau)=E_8(\tau)\\ E_8(\tau)=1+480 q+61920 q^2+1050240 q^3+7926240 q^4+\cdots $$

24차원

$$\left( \sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{\Theta_M(\tau)}{|{\rm Aut}(M)|}\right)\,\cdot\, \left(\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|}\right)^{-1}=E_{12}(\tau)$$

$$ E_{12}(\tau)=1+\frac{65520 q}{691}+\frac{134250480 q^2}{691}+\frac{11606736960 q^3}{691}+\frac{274945048560 q^4}{691}+\frac{3199218815520 q^5}{691}+\cdots $$

Siegel theta functions

  • Siegel theta series 틀:수학노트
  • 자연수 $g\in \mathbb{N}$와 격자 $\Lambda$에 대하여 정의되는 함수 $\Theta_\Lambda^{(g)}$
  • 격자의 세타함수는 $g=1$인 경우에 해당

motivation

  • 자연수 $g$, (리만곡면의 genus에서 g가 온 것이다)
  • $\underline{\zeta}$를 정수계수를 갖는 $g\times n$ 행렬
  • $\underline{x}$는 각 행이 격자 $\Lambda$의 원소가 되는 $g\times n$ 행렬이라 하자
  • 주어진 $\underline{x}$는 적당한 $\underline{\zeta}$에 대하여 $\underline{x}=\underline{\zeta}M$꼴로 쓰여진다
  • 이제 각각의 정수계수 $g\times g$ 행렬 $\underline{m}=(m_{ij})$에 대하여, $N_{\underline{m}}\in\mathbb{Z}$를 다음 방정식의 해의 개수로 정의하자

$$ \underline{\zeta} A \underline{\zeta}^t =\underline{m}, $$

  • $\underline{m}$의 성분 $m_{i,j}$는 $\underline{x}$의 두 행 $x_i,x_j\in\Lambda$ 사이의 내적이다
  • 따라서 $N_{\underline{m}}$는 $x_i\cdot x_j=m_{ij}$를 만족하는 $\underline{x}=(x_i)$의 개수이다
    • $N_{\underline{m}}$은 $\underline{m}$에 대응되는 이차형식을 $\Lambda$에 대응되는 이차형식으로 표현하는 방법의 개수로 이해할 수 있다
  • Let $\tau=(\tau_{ij})$ be a symmetric $g\times g$ matrix
  • for $\Lambda$, the genus $g$ theta function $\Theta_\Lambda^{(g)}$ is defined by

$$ \begin{align} \Theta_\Lambda^{(g)}(\tau)&=\sum_{\underline{x}\in\Lambda^{(g)}}e^{\pi i\operatorname{Tr}(\underline{x}\cdot \underline{x} \tau)}\\ &=\sum_{\underline{\zeta}\in\mathbb{Z}^{g,n}}e^{\pi i\operatorname{Tr}(\underline{\zeta} A \underline{\zeta}^{t}\tau)}\\ &=\sum_{\underline{m}} N_{\underline{m}}\prod_{i\leq j}e^{\pi i m_{ij}\tau_{ij}}, \end{align} \label{tg} $$

  • 마지막 등식에서는 행렬의 대각합 (trace)의 성질이 사용되었다
  • 두 $n\times n$행렬 $A=(a_{ij})$와 $B=(b_{ij})$에 대하여, $AB$의 대각합은 다음과 같이 주어진다

$$ \operatorname{tr}(AB)=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}b_{ji} $$

  • $n=2$인 경우 $\operatorname{tr}(AB)=a_{1,1} b_{1,1}+a_{2,1} b_{1,2}+a_{1,2} b_{2,1}+a_{2,2} b_{2,2}$
  • $n=3$인 경우 $\operatorname{tr}(AB)=a_{1,1} b_{1,1}+a_{2,1} b_{1,2}+a_{3,1} b_{1,3}+a_{1,2} b_{2,1}+a_{2,2} b_{2,2}+a_{3,2} b_{2,3}+a_{1,3} b_{3,1}+a_{2,3} b_{3,2}+a_{3,3} b_{3,3}$
  • the series \ref{tg} converges if $\tau$ is an element of

$$ \mathcal{H}_g=\left\{\tau \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \tau^{\mathrm{T}}=\tau, \textrm{Im}(\tau) \text{ positive definite} \right\} $$

  • 지겔 상반 공간 $\mathcal{H}_g$에 정의되는 해석함수가 된다

properties

  • 짝수 자기쌍대 격자의 세타함수는 $\Gamma_g$에 대하여 weight $\frac{n}{2}$인 지겔 모듈라 형식
  • 홀수 자기쌍대 격자는 $\Gamma_g(1,2)$에 대하여 weight $\frac{n}{2}$인 지겔 모듈라 형식
  • 여기서

\begin{align*} & \Gamma_g:={\rm Sp}(2g,\mathbb{Z}), \qquad \Gamma_g(2):=\{ M\in \Gamma_g \mid M=\mathbb{I}\ {\rm mod} 2 \} \\ & \Gamma_g (1,2) :=\{ M=\left(^A_C{}^B_D \right) \in \Gamma_g (2) \mid \ A B^{t} ={\rm diag} C\ D^{t} =0 \ {\rm mod} 2 \}. \end{align*}

주기 행렬

  • 틀:수학노트
  • 다음을 만족하는 \(H_1(X, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}^{2g}\)의 기저, 2g 개의 닫힌 곡선 \(a_1, \dots, a_g,b_1,\cdots,b_g\)이 존재 (canonical homology basis)

$$ \langle a_i,b_j \rangle = \begin{cases} 1, & \text{if }i=j\\ 0, & \text{if }i\neq j \\ \end{cases} $$

  • 즉, 다음과 같은 intersection form을 가진다

$$ \begin{array}{c|cc} \text{} & a& b \\ \hline a & 0 & I_g \\ b & -I_g & 0 \end{array} $$

  • 다음을 만족하는 \(H^0(X, K) \cong \mathbb{C}^g\)의 기저, holomorphic 1-form $\omega_1,\cdots,\omega_{g}$가 존재

$$ \int_{a_i}\omega_j=\delta_{ij} $$

  • $\tau_{i,j}=\int_{b_i}\omega_j$로 두면, $\tau=(\tau_{i,j})_{1\leq i,j\leq g}$는 다음의 성질을 만족한다 (리만 겹선형 관계)
  1. $\tau^{\mathrm{T}}=\tau$
  2. $\textrm{Im}(\tau)$는 양의 정부호 행렬(positive definite matrix)
  • 즉, $\tau$는 지겔 상반 공간 $\mathcal{H}_g$의 원소이며, $X$의 주기 행렬 (period matrix)라 부른다

$g=3$ 인 경우

$$ \begin{array}{c|ccc|ccc} \text{} & a_1 & a_2 & a_3 & b_1 & b_2 & b_3 \\ \hline \omega _1 & \left\langle a_1|\omega _1\right\rangle & \left\langle a_2|\omega _1\right\rangle & \left\langle a_3|\omega _1\right\rangle & \left\langle b_1|\omega _1\right\rangle & \left\langle b_2|\omega _1\right\rangle & \left\langle b_3|\omega _1\right\rangle \\ \omega _2 & \left\langle a_1|\omega _2\right\rangle & \left\langle a_2|\omega _2\right\rangle & \left\langle a_3|\omega _2\right\rangle & \left\langle b_1|\omega _2\right\rangle & \left\langle b_2|\omega _2\right\rangle & \left\langle b_3|\omega _2\right\rangle \\ \omega _3 & \left\langle a_1|\omega _3\right\rangle & \left\langle a_2|\omega _3\right\rangle & \left\langle a_3|\omega _3\right\rangle & \left\langle b_1|\omega _3\right\rangle & \left\langle b_2|\omega _3\right\rangle & \left\langle b_3|\omega _3\right\rangle \end{array} = \begin{array}{c|ccc|ccc} \text{} & a_1 & a_2 & a_3 & b_1 & b_2 & b_3 \\ \hline \omega _1 & 1 & 0 & 0 & \tau _{1,1} & \tau _{1,2} & \tau _{1,3} \\ \omega _2 & 0 & 1 & 0 & \tau _{2,1} & \tau _{2,2} & \tau _{2,3} \\ \omega _3 & 0 & 0 & 1 & \tau _{3,1} & \tau _{3,2} & \tau _{3,3} \end{array} $$ 여기서 $\left\langle \gamma|\omega\right\rangle=\int_{\gamma}\omega$


symplectic group

  • $M^T J_{g} M = J_{g}$을 만족시키는 $2g\times 2g$ 행렬 $M$ 을 사교행렬이라 함
  • 여기서 $J_{g}$는 다음과 같이 주어진 $2g\times 2g$ 행렬

$$ J_{g} =\begin{pmatrix}0 & I_g \\-I_g & 0 \\\end{pmatrix} $$

  • 사교군 $\Gamma_g:=\operatorname{Sp}(2g,\Z)=\{M\in GL_{2g}(\mathbb{Z})|M^T J_{g} M = J_{g}\}$
  • note that

$$ \begin{pmatrix} I_g & S \\ 0& I_g \\\end{pmatrix} \in \operatorname{Sp}(2g,\Z) $$ for any symmetric integral matrix $S$

지겔 상반 공간

  • 지겔 상반 공간 $\mathcal{H}_g$

$$ \mathcal{H}_g=\left\{\tau \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \tau^{\mathrm{T}}=\tau, \textrm{Im}(\tau) \text{ positive definite} \right\} $$

  • there is an action of $\Gamma_g$ on $\mathcal{H}_g$ by

$$ \tau\mapsto (A\tau +B)(C\tau + D)^{-1} $$

  • $\mathcal{A}_g=\mathcal{H}_g/\Gamma_g$ : moduli space of principally polarized abelian varieties


지겔 모듈라 형식

정의

weight이 k이고 genus(또는 degree)가 $g$인 지겔 모듈라 형식은 다음 조건을 만족하는 해석함수 $f:\mathcal{H}_g\to \mathbb{C}$로 정의된다 $$ f \left( (A\tau +B)(C\tau + D)^{-1}\right) = \det(C\tau +D)^{k} f(\tau),\, \forall \begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\\end{pmatrix}\in {\rm Sp}(2g,\Z) $$

푸리에 전개

  • note that

$$ \begin{pmatrix} I_g & S \\ 0& I_g \\\end{pmatrix}\cdot \tau = \tau+S $$

  • $f(\tau+S)=f(\tau)$ for any symmetric integral $S$
  • 지겔 모듈라 형식 $f\in M_k(\Gamma_g)$는 다음과 같은 형태의 푸리에 전개를 가진다

$$ f(q_{11},\cdots, q_{gg})=\sum_{n_{11},\cdots, n_{gg}\in \mathbb{Z}}a(n_{11},\cdots, n_{gg})q_{11}^{n_{11}}\cdots q_{gg}^{n_{gg}} \label{fou1} $$ where $q_{ij}=e^{2\pi i \tau_{ij}}$, $i\leq j$

  • define a symmetric matrix $N=(N_{ij})_{1\leq i,j\leq g}$ as

$$ N_{ij}= \begin{cases} n_{ii}, & \text{if $i=j$}\\ n_{ij}/2, & \text{if $i\neq j$} \end{cases} $$

  • $\operatorname{Tr}(N\tau)=\sum_{i=1}^{g}N_{ii}\tau_{ii}+2\sum_{1\leq i<j\leq g}N_{ij}\tau_{ij}$
  • $\exp(2\pi i \operatorname{Tr}(N\tau))=q_{11}^{n_{11}}\cdots q_{gg}^{n_{gg}}$
  • \ref{fou1}는 다음과 같은 형태로 다시 쓸 수 있다

$$f(\tau)=\sum_{N}a(N)\exp\left(2\pi i \operatorname{Tr}(N\tau)\right)$$ 여기서 $N=(N_{ij})\in \operatorname{Mat}_g(\frac{1}{2}\mathbb{Z})$는 대각성분이 정수인 대칭행렬.

Kocher 원리

지겔 모듈라 형식 $f\in M_k(\Gamma_g)$의 푸리에 전개에서, $N$가 positive semi-definite 행렬이 아니면, $a(N)=0$이다


지겔 모듈라 형식의 예

$$ \frac{-2w}{B_w}\sum_{d|(a,b,c) d^{w-1}}\alpha(D/d^2) $$ where $b^2-4ac=D=D_0f^2<0$ and $\alpha(0)=1$ and $\alpha(D)=\cdots$


Siegel-Weil formula

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