리만 곡률 텐서
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개요
- 접속 (connection)\(\nabla\)이 정의되어 있다고 하자
- 세 개의 벡터장 X,Y,Z 가 주어지면, 새로운 벡터장 R(X,Y)Z 를 얻는다
\(R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z\) - covariant tensor
성분
- \({R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = dx^\rho(R(\partial_{\mu},\partial_{\nu})\partial_{\sigma})\)
- 텐서 표현
\(R(\partial_{i},\partial_{j})={R^l}_{kij} dx^{k}\otimes \frac{\partial}{\partial x^{l}}\) - 크리스토펠 기호 를 이용한 성분의 계산
\({R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}\)
\({R^r}_{msq} = \partial_s\Gamma^r_{qm} - \partial_q\Gamma^r_{sm} + \Gamma^r_{s\lambda}\Gamma^\lambda_{qm} - \Gamma^r_{q\lambda}\Gamma^\lambda_{sm}\)
\({R^l}_{kij} = \partial_i\Gamma^l_{jk} - \partial_j\Gamma^l_{ik} + \Gamma^l_{is}\Gamma^s_{jk} - \Gamma^l_{js}\Gamma^s_{ik}\)
\(R_{\rho\sigma\mu\nu} = g_{\rho \zeta} {R^\zeta}_{\sigma\mu\nu} .\)
곡률 2-form
\(R(X,Y)\partial_{j}=\Omega_{j}^{s}(X,Y)\partial_s\)
\(\Omega_i^j =\frac{1}{2} R_{kli}^j \phi^k \wedge \phi^l \)
\(\Omega_i^j = d\omega_i^j - \omega_i^k \wedge \omega_k^j \)
Ricci tensor &Ricci scalar
역사
메모
- http://www.zweigmedia.com/diff_geom/Sec10.html
- http://www.math.csusb.edu/faculty/dunn/lecture1.pdf
- http://www.math.sunysb.edu/~brweber/401s09/coursefiles/Lecture24.pdf
- http://users-phys.au.dk/fedorov/nucltheo/GTR/09/note6.pdf
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_curvature_tensor
- The Online Encyclopaedia of Mathematics[1]
관련논문
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