미적분학의 기본정리
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개요
- 미적분학의 기본정리는 미분형식에 대한 스토크스 정리로 확장됨
미적분학의 기본정리
\(F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x)\) 이면 \(\int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a)\)
선적분의 기본정리
- 1-form 과 0-form
\(\int_{C}\nabla\phi\cdot d\mathbf{r}=\phi(P_1)-\phi(P_0)\)
곡면에 대한 스토크스의 정리
- 2-form 과 1-form
\(\iint_S\ (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\,d\mathbf{S}=\int_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf{r}\)
그린 정리
- 스토크스 정리의 특수한 경우[[그린 정리(통합됨)|]]
\(\oint_{\partial D} (P\, {d}x + Q\, {d}y) = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, {d}A\) - 그린 정리
가우스의 발산 정리
- 3-form과 2-form
\(\iiint_V\ \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV=\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,{d}S \)
여기서
\(\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z }\)
가장 일반적인 형태의 스토크스 정리
- 미분형식 (differential forms) 에 대한 스토크스 정리
\(\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega\)
역사
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