삼각함수

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삼각함수

개요

중학교에서 배운 삼각비를 실수 전체에서 정의된 함수로 확장하여 얻어지는 함수
주기성을 가지며 삼각함수들 사이에 많은 공식이 성립
삼각비와 삼각함수의 차이에 대해서는 삼각비에서 삼각함수로 항목을 참조

배우기 전에 알고 있어야 하는 것들

사인과 코사인

단위원의 방정식
\(x^2+y^2=1\)
원 위에서 각도함수 정의하기 작업을 통해 단위원의 각 점에 해당하는 각도 \(\theta\)를 정의할 수 있다
코사인과 사인함수는 각각 각도 \(\theta\)에 해당하는 단위원의 점의 x-좌표와 y-좌표로 정의된다
단위원의 좌표로 함수가 정의되므로, 다음 공식을 만족시킨다
\(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)

\(1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\)

덧셈공식

\(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\)

\(\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\\)

\(\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}\)

배각공식

\(\sin 2\theta &= 2 \sin \theta \cos \theta\)

\(\cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1\)

\(\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\)

\(\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3\theta\)

\(\cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta\)

더 일반적인 경우에 대해서는 삼각함수의 배각공식 표 항목과 체비셰프 다항식 참조

반각공식

\(\sin^2 \frac{\theta}{2} =\frac{1 - \cos \theta}{2}\)

\(\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}\)

삼각함수의 값

삼각함수의 값

삼각함수의 급수 표현

사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.

\(\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)

\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)

베르누이 수 참조

쌍곡함수

\(\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix \\)

삼각함수

목차

이 항목의 스프링노트 원문주소

개요

배우기 전에 알고 있어야 하는 것들

사인과 코사인

덧셈공식

배각공식

반각공식

삼각함수의 값

삼각함수의 급수 표현

쌍곡함수

역사

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