자코비 세타함수

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자코비 세타함수

개요

세타함수의 정의 (spectral decomposition of heat kernel)
\(\theta(\tau)=\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}\), \(q=e^{2\pi i \tau}\), \(x=e^{\pi i \tau}\)

\(\theta_{2}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty q^{(n+\frac{1}{2})^2/2}\)

\(\theta_{4}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2/2}\)

자코비는 이를 통하여 타원함수론을 전개
응용으로 자코비의 네 제곱수 정리, 퐁슬레의 정리 등의 증명에 사용됨
모듈라 형식(modular forms)의 예
제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind), #과의 관계
\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(q)\)

많이 사용되는 또다른 정의

전통적인 세타함수
\(\theta(\tau)=\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}\)
현대의 수학문헌에서는 다음과 같은 함수도 같은 이름으로 자주 사용됨
\(\Theta(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{2\pi i n^2\tau}\), \(q=e^{2\pi i \tau}\)

\(\Theta(\tau)\) 는 \(\Gamma_0(4)\)에 대한 모듈라 형식이 됨
\(\Gamma_0(4) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} {*} & {*} \\ 0 & {*} \end{pmatrix} \pmod{4} \right\}\)

여러가지 공식들

\(\theta_2^4(q)+\theta_4^4(q)=\theta_3^4(q)\)

\(\theta_3^2(q^2)+\theta_2^2(q^2)=\theta_3^2(q)\)

\(\theta_3^2(q^2)-\theta_2^2(q^2)=\theta_3^2(q)\)

세타함수의 Modularity

\(\theta(-\frac{1}{\tau})=\sqrt{\frac{\tau}{i}} \theta({\tau})\)

\(\tau=iy, y>0\) 으로 쓰면,

\(\theta(\frac{i}{y})=\sqrt{y} \theta({iy)\)

(증명)

포아송의 덧셈 공식을 사용한다.

\(\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)\)

\(f(x)=e^{\pi i x^2\tau\)의 푸리에 변환은 다음과 같이 주어진다.

\(\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{i}{\tau}}e^{-\pi i\frac{\xi^2}{\tau}\)

\(\theta(\tau)= \sum_{\in \mathbb Z} \exp(\pi i n^2\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)=\sqrt{\frac{i}{\tau}}\sum_{n\in \mathbb Z}e^{-\pi i n^2 \frac{1}{\tau}}=\sqrt{\frac{i}{\tau}}\theta(-\frac{1}{\tau})\) (증명끝)

\(\Gamma(2)\)에 대한 모듈라 형식이 됨
\(\Gamma(2) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}\)

세타함수의 삼중곱 정리(triple product)

\(\sum_{n=-\infty}^\infty z^{n}q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)\)

\(z=1\) 인 경우

\(\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + q^{2m-1}\right)^2\)

삼중곱 정리의 증명

q-초기하급수(q-hypergeometric series)

\(\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)

\(\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1+zq^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)

를 활용

\(\prod_{m=0}^\infty \left( 1 + zq^{2m+1}\right)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^nz^n}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots(1-q^{2n})}\)

[Andrews65] 참조

데데킨트 에타함수와의 관계

\(\theta(\tau)=\frac{\eta(\tau)^5}{\eta(2\tau)^2\eta(\frac{\tau}{2})^2}\)

삼중곱 공식을 이용

\(\theta(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{2m}\right) \left( 1 + x^{2m-1}\right) \left( 1 + x^{2m-1}\right)\)

\(q=e^{2\pi i \tau}\), \(x=e^{\pi i \tau}\)

데데킨트 에타함수 참조

singular value k와의 관계

\(k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

타원적분의 singular value k

세타함수와 AGM iteration

\(\frac{\theta_3^2(q)+\theta_4^2(q)}{2}=\theta_3(q^2)\)

\(\sqrt{\theta_3^2(q)\theta_4^2(q)}=\theta_4^2(q^2)\)

따라서 \(a_n=\theta_3^2(q^{2^n}),b_n=\theta_4^2(q^{2^n})\) 라 하면, \(a_n, b_n\)은 AGM iteration 을 만족하고 \(\lim_{n\to\infty}a_n=1\)이고, \(1=M(\theta_3^2(q),\theta_4^2(q))\)가 된다.

제1종타원적분과의 관계

(정리)

주어진 \(0<k<1\) 에 대하여, \(k=k(q)=\frac{\theta_2^2(q)}{\theta_3^2(q)}\)를 만족시키는 \(q\)가 존재한다. 이 때,

\(M(1,k')=\theta_3^{-2}(q)\) 와 \(K(k) = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(q)\)가 성립한다.

여기서 \(K(k)\)는 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind).

(증명)

\(1=M(\theta_3^2(q),\theta_4^2(q))=\theta_3^{2}(q)M(1,\frac{\theta_4^2(q)}{\theta_3^2(q)})=\theta_3^{2}(q)M(1,k')\)

그러므로, \(M(1,k')=\theta_3^{-2}(q)\)이다.

한편, 란덴변환에 의해 \(K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\)가 성립(타원적분과 AGM의 관계 , 란덴변환과 AGM 참조)하므로, \(K(k) = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(q)\)도 증명된다. (증명끝)

표준적인 도서 및 추천도서

Brief Introduction to Theta Functions
- BELLMAN, RICHARD
Tata Lectures on Theta I,II,III
- David Mumford

위키링크

http://en.wikipedia.org/wiki/Theta_functions