접속 (connection)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 1월 20일 (금) 15:30 판
둘러보기로 가기 검색하러 가기
이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 방향미분의 일반화
  • 벡터장 \({\mathbf v}\)와 벡터장 \( {\mathbf Y}\)에 대해서 정의되며, 또다른 벡터장 \(\nabla_{\mathbf v} {\mathbf Y}\) 을 얻는다

 

 

성질
  • 벡터장 \({\mathbf X},{\mathbf Y}\)와 함수 f에 대하여 다음 성질을 만족시킨다
    \(\begin{align}&\nabla_X(Y_1 + Y_2) = \nabla_XY_1 + \nabla_XY_2\\ &\nabla_{X_1 + X_2}Y = \nabla_{X_1}Y + \nabla_{X_2}Y\\ &\nabla_{X}(fY) = f\nabla_XY + X(f)Y\\ &\nabla_{fX}Y = f\nabla_XY\end{align}\)

 

 

접속형식
  • frame \(\{X_i\}\)에 대하여, 적당한 1-form \(A_{ij}\)에 대하여, 다음과 같이 표현할수 있다
    \(\nabla X_i = \sum_{j=1}^{2} A_{ij}\otimes X_j= A_{i}^{j}\otimes X_j\)
    \(A_{ij}= A_{i}^{j}\) 로 두었다
  • 여기서 1-form \(A_{ij}\)는 벡터장 \({\mathbf v}\)에 대하여 다음을 만족시킴
    \(\nabla_{\mathbf v} X_i = (\nabla X_i)({\mathbf v})= \sum_{j=1}^{2} A_{ij}({\mathbf v}) X_j\)
  • 이때의 \(A=(A_{ij})\) 를 접속 1형식(1-form)이라고 부른다

 

 

곡률형식
  • \(F=dA-A\wedge A\) 는 곡률 2형식(2-form) 이라 부른다

 

 

레비치비타 접속
  • 리만다양체에 정의되는 접속
  • frame \(\mathbf{e}=\{e_i\}\)
  • 접속형식 \(A=(A_{ij})\)을 통해서는 다음과 같이 표현할 수 있다
    \(\nabla_{e_i} e_j =\sum_{k=1}^{n} A_{jk}(e_i) e_k\)
    즉 \( A_{jk}(e_i)={\Gamma^k}_{ij}\)
  • 크리스토펠 기호를 통해 표현할수 있다
    \(\nabla_{e_i}e_j = \sum_{k=1}^n\Gamma_{ij}^ke_k\)

 

 

Cartan structural equation

 

 

 

역사

 

 

 

메모
  • http://mathstat.carleton.ca/~ckfong/S43.pdf
  • Moussiaux, A., 와/과Ph. Tombal. 1988. “Geometric calculus: A new computational tool for Riemannian geometry”. International Journal of Theoretical Physics 27 (5): 613-621. doi:10.1007/BF0066884

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문
  • The Geometry of Connections
    • R. S. Millman and Ann K. Stehney, The American Mathematical Monthly, Vol. 80, No. 5 (May, 1973), pp. 475-500

 

 

관련도서

 

 

관련기사

 

 

블로그
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=접속_(connection)&oldid=17758"