타원적분

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 2월 23일 (목) 16:08 판
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개요
  • 먼저 타원적분 입문 참조
  • \(R(x,y)\)는  \(x,y\)의 유리함수이고, \(y^2\)은 \(x\)의 3차 또는 4차식
    \(\int R(x,\sqrt{ax^3+bx^2+cx+d}) \,dx\) 또는
    \(\int R(x,\sqrt{ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}) \,dx\)

 

 

타원 둘레의 길이
  • 역사적으로 타원 둘레의 길이를 구하는 적분에서 그 이름이 기원함.
  • 타원  \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)의 둘레의 길이는 \(4aE(k)\) 로 주어짐.
    \(k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
    \(E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)

 

정의
  • 일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 타원적분이라 부름

\(\int R(x,y)\,dx\)

여기서 \(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수, \(y^2\)= 중근을 갖지 않는 \(x\)의 3차식 또는 4차식.

  • 예를 들자면,
     \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\)
    \(\int \frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)
     

 

일종타원적분과 이종타원적분

 

 

르장드르의 항등식
  • 일종타원적분과 이종타원적분 사이에는 다음과 같은 관계가 성립

\(E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}\)

또는 \(\theta+\phi=\frac{\pi}{2}\) 에 대하여

\(E(\sin\theta)K(\sin\phi)+E(\sin\phi)K(\sin\theta)-K(\sin\theta)K(\sin\phi)=\frac{\pi}{2}\)

  • 특별히 다음과 같은 관계가 성립함

\(2K(\frac{1}{\sqrt{2}})E(\frac{1}{\sqrt{2}})-K(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{\pi}{2}\)

AGM과 파이값의 계산에 응용

 

 

덧셈공식
  • 파그나노의 공식
    \(\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}}dx = \int_0^{A(x,y)}{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}}dx\)
    여기서 \(A(x,y)=\frac{x\sqrt{1-y^4}+y\sqrt{1-x^4}}{1+x^2y^2}\)
  • 오일러의 일반화
    \(p(x)=1+mx^2+nx^4\)일 때,
    \(\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{p(x)}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{p(x)}}}dx = \int_0^{B(x,y)}{\frac{1}{\sqrt{p(x)}}}dx\)
    여기서 \(B(x,y)=\frac{x\sqrt{p(y)}+y\sqrt{p(x)}}{1-nx^2y^2}\)

 

 

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