포아송의 덧셈 공식

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 9월 10일 (목) 08:51 판
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간단한 소개
  • 푸리에 변환
    \(\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx\)

 

(정리) 포아송

\(\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)\)

 

(증명)

\(F(x):=\sum_{n\in \mathbb Z}f(x+n)\)

\(F(x+1)=F(x)\) 이므로 푸리에 전개를 할 수 있다.

\(F(x)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}a_ne^{2\pi i n x}\)

\(a_n=\int_{0}^{1}F(t)e^{2\pi i n t}\,dt\)

\(F(0):=\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}a_n\)

한편 \(a_y=\int_0^1\sum_{n\in \mathbb Z}f(t+n)e^{-2\pi i t y}\,dt=\sum_{n\in \mathbb Z}\int_0^1f(t+n)e^{-2\pi i (t+n)y}\,dt=\sum_{n\in \mathbb Z}\int_n^{n+1}f(t)e^{-2\pi i (t)y}\,dt=\hat{f}(y)\)

따라서 \(\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}a_n=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)\) (증명끝)

 

 

유한아벨군

 

 

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메모

 

 

  • 코드
    • 이차형식에서 격자에 대응
  • 코드의 weight enumerator
    • 격자의 쎄타함수에 대응
  • 코드 : 격자 = 코드의 weight enumerator : 격자의 세타함수
  • MacWilliams Identity

 

  • 섀넌 샘플링 정리

 

 

 

역사
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