완전미분방정식

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2013년 1월 12일 (토) 11:02 판 (찾아 바꾸기 – “<br><math>” 문자열을 “:<math>” 문자열로)
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개요

  • \(M(x, y) + N(x, y)y' = 0\) 꼴의 미분방정식
  • \(M(x, y)\, dx + N(x, y)\, dy = 0\) 형태로 쓸 수 있으며, 다음 조건을 만족시키는 경우 완전미분방정식이라 부름\[\frac{\partial M}{\partial y}(x, y) = \frac{\partial N}{\partial x}(x, y)\]
  • 푸앵카레 보조정리
  • 호몰로지 대수의 흔적

 

 

해가 존재할 조건

  • \(\operatorname{grad}(\phi) = \nabla \phi=(M,N)\) 을 만족하는 함수가 존재하는 경우\[\frac{d}{dx}\phi(x,y) = \frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{dy}{dx}=M+Ny=0\]
  • 국소적인 해가 존재할 필요충분조건\[\frac{\partial M}{\partial y}(x, y) = \frac{\partial N}{\partial x}(x, y)\]
  • 이는 미분연산자 가 만족시키는 조건 \(\nabla \times (\nabla f)=0\) 으로 설명가능

 

 

적분인자

 

 

 

일계선형미분방정식에의 응용

\(\frac{dy}{dt}+a(t)y=b(t)\)

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

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