완전미분방정식

개요

<math>M(x, y) + N(x, y)y' = 0</math> 꼴의 미분방정식
<math>M(x, y)\, dx + N(x, y)\, dy = 0</math> 형태로 쓸 수 있으며, 다음 조건을 만족시키는 경우 완전미분방정식이라 부름:<math>\frac{\partial M}{\partial y}(x, y) = \frac{\partial N}{\partial x}(x, y)</math>
푸앵카레 보조정리
호몰로지 대수의 흔적

<math>\operatorname{grad}(\phi) = \nabla \phi=(M,N)</math> 을 만족하는 함수가 존재하는 경우:<math>\frac{d}{dx}\phi(x,y) = \frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{dy}{dx}=M+Ny=0</math>
국소적인 해가 존재할 필요충분조건:<math>\frac{\partial M}{\partial y}(x, y) = \frac{\partial N}{\partial x}(x, y)</math>
이는 미분연산자 가 만족시키는 조건 <math>\nabla \times (\nabla f)=0</math> 으로 설명가능