복소곱을 갖는 타원곡선과 singular moduli 강의노트

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개요

다항식 $x^2+x+41$이 $x= 0,1,\cdots, 39$일 때 소수라는 사실은 잘 알려져 있다. (오일러의 소수생성다항식 x²+x+41) 그러나 이것이 끝이 아니며, 여기에 이어지는 훌륭한 다음과 같은 이야기가 있다. $$ e^{163\sqrt{\pi}}= 262537412640768743.99999999999925007\cdots $$ 이 두 가지 사실은 모두 정수환 $\mathbb{Z}[\frac{-1+\sqrt{-163}}{2}]$의 성질 (숫자 163)에서 얻어지는 것으로 많은 아름다운 수학과 연관되어 있다. 여기선 이에 대해 설명한다. 이를 이해하면, 다음과 같은 예를 더 찾아낼 수 있다. $$ e^{43\sqrt{\pi}}= 884736743.99977746603\cdots \\ e^{67\sqrt{\pi}}= 147197952743.9999986624 $$

아이디얼은 격자이다

  • 수체 $K$의 정수환 $\mathcal{O}_K$는 $\mathbb{Z}$의 유한생선 모듈이며, 따라서 격자로 이해할 수 있다
  • 아이디얼 = $\mathcal{O}_K$의 곱에 의해 닫혀있는 부분격자
  • 격자사이의 닮음 관계 <-> 아이디얼에 정의되는 동치관계
  • 동치가 아닌 아이디얼류의 개수를 유수라 하며, 유수가 1이면 PID (principal ideal domain)이 된다
  • 가령 왜 $\mathbb{Z}$가 PID인가? 모든 아이디얼은 기하학적으로 $\mathbb{Z}$와 똑같이 생겼다
  • 질문 : 유수가 1인 모든 허 이차수체를 찾아라
  • 답 : $\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ with $d=1,2,3,7,11,19,43,67,163$
  • 가우스의 class number one 문제 항목 참조

예

  • $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$인 경우, $h_K=3$
  • 판별식이 $\Delta=-23$인 [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]

$$ x^2+xy+6y^2,2 x^2-xy+3y^2,2 x^2+xy+3y^2 $$

$$ [1,\frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{-23}\right)],[2,\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{-23}\right)],[2,\frac{1}{2} \left(-1+ \sqrt{-23}\right)] $$


타원곡선과 격자

  • $\mathbb{C}$ 위의 타원곡선은 어떤 격자 $\Lambda$에 대하여 $\mathbb{C}/\Lambda$의 꼴로 주어진다
  • $E:y^2=4x^3-g_2x-g_3$ ($g_2^3-27g_3^2\neq 0$을 만족), $O_{E}=(\infty^2,\infty^3)$
  • $\phi : E_1\to E_2$

$$ \phi(x,y)=(\frac{\text{poly in }x,y}{\text{poly in }x,y},\frac{\text{poly in }x,y}{\text{poly in }x,y}),\quad \phi(O_{E_1})=O_{E_2} $$ 를 isogeny라 함

  • 격자들 사이의 관점에서 보면

$$\operatorname{Hom}(\mathbb{C}/\Lambda_1,\mathbb{C}/\Lambda_2)=\{\alpha\in \mathbb{C}|\alpha \Lambda_1 \subseteq \Lambda_2\}$$

$$ \wp(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{\omega\in \Lambda,\omega\neq 0}\left(\frac{1}{(z-\omega)^2}- \frac{1}{\omega^2}\right) $$

  • 다음을 만족한다

$$\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3$$ 여기서 $$ g_2= 60\sum_{\omega \in \Lambda, \omega\neq 0} \omega^{-4}\\ g_3=140\sum_{\omega \in \Lambda, \omega\neq 0} \omega^{-6} $$

복소곱(complex multiplication)

  • $\Lambda=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$, $\Im\tau >0$라 하자.
  • 타원곡선 \(E=\mathbb{C}/\Lambda\)
  • $\operatorname{End}({E})=\{\alpha\in \mathbb{C} | \alpha \Lambda \subseteq \Lambda\}$
  • \(\alpha\in\mathbb{Z}\)에 대하여, \(\alpha\tau \in\Lambda\)이고 따라서 \(\mathbb{Z}\subset \operatorname{End}({E})\)
  • 대부분의 경우, \(\operatorname{End}({E})=\mathbb{Z}\)
  • 만약 \(\operatorname{End}({E})\neq \mathbb{Z}\)이면, 즉 \(\mathbb{Z}\subsetneq \operatorname{End}({E})\), $E$가 복소곱을 갖는다고 한다
  • \(E\)가 복소곱을 갖는다고 하자.
  • 그러면 \(\alpha\in\operatorname{End}({E})\backslash\mathbb{Z}\)가 존재해야 한다.
  • \(\alpha\cdot 1 \in\Lambda\)이므로 적당한 정수 \(m, n\)에 대하여, \(\alpha=m+n\tau,\quad n \neq 0 \)
  • \(\alpha\cdot \tau \in\Lambda\)이므로 적당한 정수 \(p, q\)에 대하여, \(\alpha\tau=(m+n\tau)\tau=p+q\tau\)
  • 그러므로

\[n\tau^2-(m-q)\tau-p=0,\quad n \neq 0\]

  • 따라서, \(E\)가 복소곱을 가지면, \(\tau\)는 정수계수를 갖는 이차방정식을 만족해야 한다. 따라서 $\tau$는 허의 이차수 (imaginary quadratic)가 되어야 한다

$\operatorname{End}(E)$의 이해

  • 질문 : 허의 이차수 $\tau$에 대하여, $\Lambda=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$, $E=\mathbb{C}/\Lambda$라 할 때, $\operatorname{End}(E)$은 무엇인가?
명제

허의 이차수 $\tau$의 최소다항식 $A\tau^2+B\tau+C=0$가 $A\neq 0,B,C\in \mathbb{Z}$와 $\gcd(A,B,C)=1$를 만족한다고 하자. 이 때, 다음이 성립한다 $$ \operatorname{End}(E)=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\cdot A\tau $$

증명

다음을 쉽게 확인할 수 있다. $$(A\tau)^2+B(A\tau)+AC=0$$ 따라서 $ \mathbb{Z}+\mathbb{Z}\cdot A\tau \subseteq \operatorname{End}(E)$

관계 $\operatorname{End}(E)\subseteq \mathbb{Z}+\mathbb{Z}\cdot A\tau$를 보이려 한다. $z=a+b\tau\in \operatorname{End}(E)\backslash\mathbb{Z}$이면, $z\cdot 1=a+b\tau\in \Lambda$이므로 $a,b\in \mathbb{Z}$. 따라서 $z'=b\tau \in \operatorname{End}(E)$이다. 이 때, 적당한 $c,d\in \mathbb{Z}$에 대하여 다음이 성립한다. $$ z'\tau=c+d\tau $$ 따라서 $b\tau^2-d\tau-c=0$. 주어진 가정으로부터, $b$는 $A$의 배수가 되어야 함을 알 수 있다. ■

  • $(A\tau)^2+B(A\tau)+AC=0$라는 사실은 $A\tau$가 대수적 정수임을 보여준다
  • 환 $\operatorname{End}(E)$는 허 이차수체의 order이다


주어진 자기준동형사상 환(endomorphism ring)을 갖는 타원곡선

  • 허 이차수체 $K$와 $\mathcal{O}_K$를 고정하자. 적당한 $\tau\in \mathcal{O}_K$에 대하여 $K=\mathbb{Q}(\tau)$꼴로 쓸 수 있다.
  • $\operatorname{End}(E_{\Lambda})\cong \mathcal{O}_K$를 만족하는 모든 격자 $\Lambda$를 찾으려 한다.
정리

$\operatorname{End}(E_{\Lambda})\cong \mathcal{O}_K$과 $\Lambda$가 $\mathcal{O}_K$의 아이디얼과 닮음이라는 사실은 서로 필요충분조건이다.

증명

(=>) $\Lambda=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\eta$, $\tau\in \operatorname{End}(E_{\Lambda})\backslash\mathbb{Z}$라 하자. $\tau\cdot 1\in \Lambda$이므로 $\tau=a+b\eta$, $b\neq 0$. 따라서 $b\eta =\tau-a$.

그러므로 $\Lambda$는 $b\Lambda=b\mathbb{Z}+\mathbb{Z}(b\eta)=b\mathbb{Z}+\mathbb{Z}(\tau-a)$와 닮음이다. 이제 $a\in \mathcal{O}_{K}$에 대하여, $a\Lambda \subseteq \Lambda$라는 사실로부터 $\operatorname{End}(E_{\Lambda})\cong \mathcal{O}_K$. 따라서 $\Lambda$는 $\mathcal{O}_K$의 아이디얼과 닮음이다

(<=) 역으로, $\Lambda=[\omega_1,\omega_2],\quad \omega_1,\omega_2\in \mathcal{O}_K$가 $\mathcal{O}_K$의 아이디얼인 경우, $\operatorname{End}(E_{\Lambda})\supseteq \mathcal{O}_K$. 이 때, $\omega_2/\omega_1\in K$이므로, 만약 $\alpha\in \operatorname{End}(E_{\Lambda})=\operatorname{End}(E_{\omega_2/\omega_1})$이면, $\alpha \in K$이고, 이는 대수적 정수가 되어야 한다. 따라서 $\operatorname{End}(E_{\Lambda})= \mathcal{O}_K$. ■

$j$-불변량

  • $E:y^2=4x^3-g_2x-g_3$
  • $E$의 j-불변량은 다음과 같이 정의된다

$$ j(E)=1728\frac{g_ 2^3}{g_ 2^3-27g_ 3^2} $$

  • 이는 다시 다음과 같이 주어지는 함수 $j:\mathbb{H}\to \mathbb{C}$로 이해할 수 있다

\[ \begin{align} j(\tau)&= {(1+240\sum_{n>0}\sigma_3(n)q^n)^3\over q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}}\\ &=q^{-1}+744+196884q+21493760q^2+\cdots \\ &=\sum_{n=-1}^{\infty}c(n) q^n \\ \end{align} \] 여기서 $\sigma_3(n)=\sum_{d|n}d^3$

  • circle method에 의해 다음을 얻을 수 있다 ($j(\tau)$의 모듈라 성질이 여기에 중요한 역할을 한다)

$$ c(n)\sim \frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}}\left(1-\frac{3}{32\pi\sqrt{n}}+O(n)\right) $$

$E$ and $j(E)$에 대한 갈루아 작용

  • $E:y^2=4x^3-g_2x-g_3$
  • $\sigma\in \operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{Q})$에 대하여, $E^{\sigma} :y^2=4x^3-\sigma(g_2)x-\sigma(g_3)$라 정의하자.
  • 그러면 isogeny가 유리함수라는 사실로부터 $\operatorname{End}(E)=\operatorname{End}(E^{\sigma})$를 알 수 있다.
  • $K$가 허 이차수체라 하자.
  • $\operatorname{End}(E)\cong \mathcal{O}_K$를 만족하는 타원곡선의 동형류는 유한개, 즉 $E_1,\cdots, E_{h_{K}}$로 주어진다. 여기서 $h_K$는 수체 $K$의 유수
  • $\operatorname{End}(E)\cong \mathcal{O}_K$을 만족하는 타원곡선 $E$에 대하여, $j(E)^{\sigma}=j(E^{\sigma})$이므로 $\{j(E)^{\sigma}|\sigma\in \operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{Q})\}$는 유한집합이 된다.
  • 이는 $j(E)$가 차수가 $h_{K}$인 대수적수임을 보여준다
  • 사실은 더 많은 것이 알려져 있다.
정리

타원곡선 $E$가 복소곱을 갖는 경우, $j(E)$는 차수가 $h_K$인 대수적 정수이다. 특별히 $h_K=1$인 경우, $j(E)\in \mathbb{Z}$이다.

증명

Silverman의 Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves를 참조. ■


예

  • $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$, $h_K=3$

$$ j\left(\frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{-23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(1+\sqrt{-23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(-1+ \sqrt{-23}\right)\right)$$

  • 이들은 다음 다항식의 근이다

$$ x^3+3491750 x^2-5151296875 x+12771880859375 $$

거의 정수

  • 따라서 $j(\frac{-1+\sqrt{163}}{2})\in \mathbb{Z}$. 실제로 다음과 같은 값을 얻을 수 있다.

$$j(\frac {-1+\sqrt{-163}} {2})=-262537412640768000=-640320^3$$

  • $q^n=e^{\pi i (-1+\sqrt{163}i)n}=(-1)^n (e^{-\sqrt{163}\pi})^n$
  • 그러므로

$$ -e^{\sqrt{163}\pi}+744-196884 e^{-\sqrt{163}\pi}+21493760 (e^{-\sqrt{163}\pi})^2+\cdots =-262537412640768000 $$

  • 다음과 같은 근사식을 얻는다

$$ c(n)q^n\sim \frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}}(e^{-\sqrt{163}\pi})^n $$ 이며 이는 0으로 빠르게 수렴한다

  • 따라서

$$ e^{\sqrt{163}\pi}= 262537412640768000+744+\text{very small number}=262537412640768743.99999999999925007\cdots $$

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