반사 변환

개요

법벡터를 \(\alpha\neq 0\)로 갖는 초평면 \(H_{\alpha,c}=\{x\in \mathbb{R}^n|\alpha\cdot x=c\}\)을 생각하자
벡터 \(x\)를 \(H_{\alpha,c}\)에 반사시켰을 때 얻어지는 벡터를 \(x'\)라 하자
임의의 점 \(x_0\in H_{\alpha,c}\)를 선택하면, 벡터 \(x-x_0\)의 \(H_{\alpha,c}\)에 수직한 성분은

\[ \frac{(x-x_0)\cdot \alpha}{|\alpha|^2}\alpha=\frac{x\cdot \alpha-c}{|\alpha|^2}\alpha \] 로 주어진다

\[ x'=x-\frac{2x\cdot \alpha}{|\alpha|^2}\alpha+\frac{2c}{|\alpha|^2}\alpha \]

\[ x'=x-(x\cdot\alpha^{\vee})\alpha+c\alpha^{\vee} \]

\(c=0\)이고 \(\alpha=\left(\cos (\theta ),\sin (\theta )\right)\) 이면, 반사변환은 선형사상으로 다음 행렬로 표현된다

\[\left( \begin{array}{cc} -\cos (2 \theta ) & -\sin (2 \theta ) \\ -\sin (2 \theta ) & \cos (2 \theta ) \end{array} \right)\]