리만 곡률 텐서

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 1월 16일 (월) 06:56 판
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개요
  • 접속 (connection)\(\nabla\)이 정의되어 있다고 하자
  • 세 개의 벡터장 X,Y,Z 가 주어지면, 새로운 벡터장 R(X,Y)Z 를 얻는다
    \(R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z\)
  • covariant tensor

 

 

성분
  • \({R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = dx^\rho(R(\partial_{\mu},\partial_{\nu})\partial_{\sigma})\)
  • 텐서 표현 
    \(R(\partial_{i},\partial_{j})={R^l}_{kij} dx^{k}\otimes \frac{\partial}{\partial x^{l}}\)
  • 크리스토펠 기호 를 이용한 성분의 계산
    \({R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}\)
    \({R^r}_{msq} = \partial_s\Gamma^r_{qm} - \partial_q\Gamma^r_{sm} + \Gamma^r_{s\lambda}\Gamma^\lambda_{qm} - \Gamma^r_{q\lambda}\Gamma^\lambda_{sm}\)
    \({R^l}_{kij} = \partial_i\Gamma^l_{jk} - \partial_j\Gamma^l_{ik} + \Gamma^l_{is}\Gamma^s_{jk} - \Gamma^l_{js}\Gamma^s_{ik}\)
    \(R_{\rho\sigma\mu\nu} = g_{\rho \zeta} {R^\zeta}_{\sigma\mu\nu} .\)

 

 

곡률 2-form

\(R(X,Y)\partial_{j}=\Omega_{j}^{s}(X,Y)\partial_s\)

\(\Omega_i^j =\frac{1}{2} R_{kli}^j \phi^k \wedge \phi^l \)

\(\Omega_i^j = d\omega_i^j - \omega_i^k \wedge \omega_k^j \)

 

 

 

Ricci tensor &Ricci scalar

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

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