모듈라 군, j-invariant and the singular moduli

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 12월 5일 (토) 07:05 판
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개요
  • 타원적분의 singular value k
    • 자연수 \(n \) 에 대하여, 다음을 만족시키는 \(k\)를 singular value 라 한다
      \(\frac{K'}{K}(k):=\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}= \sqrt n \)
  • 타원 모듈라 λ-함수
    \(\lambda(\tau)=k^2(\tau)\) 는 modulus라고 불렸으며, 아벨, 자코비와 후학들(에르미트)에 의해 많이 연구됨

  • 가장 기본적인 모듈라함수로 여겨졌으나, 나중에 \(j\)-불변량에 그 자리를 내줌
  • explicit class field theory 에서 중요한 역할을 한다

 

 

singular moduli와 관련된 함수들

\(k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(\lambda(\tau)=k^2(\tau)=\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}\)

 

 

타원적분과 singular moduli
  • 일종타원적분 K
    \(\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1\)
    \(\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2}\)
    \(\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}\)
    \(\frac{K'}{K}\left(3-2\sqrt{2}}\right)= \sqrt{4}\)
  • singular values
    \(k(i)=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
    \(k(\sqrt{2}i)=\sqrt{2}-1\)
    \(k(\sqrt{3}i)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
    \(k(2i)=3-2\sqrt{2}\)
  • singular moduli
    \(\lambda(i)=k^2(i)=\frac{1}{2}\)

 

 

정의

\(\theta_{4}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2/2}\)

\(k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\)

\(E(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}d\theta}{\)

\(k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(K'(k) = K(k')\)

\(E'(k) = E(k')\)

  • 위의 함수들을 이용하여, 양수 \(r\)에 대하여 다음을 정의

\(\lambda^{*}(r):=k(i\sqrt{r})\)

 

 

\(s=1\)일때의 singular moduli 모음

 

 

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관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

표준적인 도서 및 추천도서
  • Discontinuous Groups and Automorphic Functions
    • Joseph Lehner

 

위키링크

 

 

참고할만한 자료
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