모듈라 군, j-invariant and the singular moduli

이 항목의 스프링노트 원문주소

타원적분의 singular value k
- 자연수 \(n \) 에 대하여, 다음을 만족시키는 \(k\)를 singular value 라 한다
  \(\frac{K'}{K}(k):=\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}= \sqrt n \)
타원 모듈라 λ-함수
\(\lambda(\tau)=k^2(\tau)\) 는 modulus라고 불렸으며, 아벨, 자코비와 후학들(에르미트)에 의해 많이 연구됨
가장 기본적인 모듈라함수로 여겨졌으나, 나중에 \(j\)-불변량에 그 자리를 내줌
explicit class field theory 에서 중요한 역할을 한다
초등정수론의 합동식 (모듈로 modulo 연산) 와는 다른 것임.

\(k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(\lambda(\tau)=k^2(\tau)=\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}\)

타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)
\(J(\tau)=\frac{4}{27}\frac{(1-\lambda+\lambda^2)^3}{\lambda^2(1-\lambda)^2}\)
\(j(\tau)=1728J(\tau)\)
\( j(\frac {-1+\sqrt{-163}} {2})=-262537412640768000=-640320^3\)
베버(Weber) 모듈라 함수
라마누잔의 class invariants

일종타원적분 K
\(\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1\)
\(\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2}\)
\(\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}\)
\(\frac{K'}{K}\left(3-2\sqrt{2}}\right)= \sqrt{4}\)
singular values
\(k(i)=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(k(\sqrt{2}i)=\sqrt{2}-1\)
\(k(\sqrt{3}i)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
\(k(2i)=3-2\sqrt{2}\)

\(s=1\)에서의 디리클레 L-함수의 도함수 값
\(L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})\)
Chowla-셀베르그 공식 항목 참조
적분쇼
\(\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=L'_{-4}(1)- \frac{\pi}{4}\gamma=\frac{\pi}{2}\ln({\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi})\)
타원적분의 singular value k
\(k(\sqrt{-1})=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
타원 모듈라 λ-함수
\(\lambda(\sqrt{-1})=\frac{1}{2}\)
로저스-라마누잔 연분수와 항등식
\(r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\)
베버(Weber) 모듈라 함수
\(\mathfrak{f}(i)^8=4\)
\(\mathfrak{f}_1(i)^8=2\)
\(\mathfrak{f}_2(i)^8=2\)
타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)
\( j(\sqrt{-1})=1728=12^3\)
제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
\(K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{1}{4})}{2\sqrt{2}\Gamma(\frac{3}{4})}=1.8540746773\cdots\)
자코비 세타함수
\(\theta_3(\sqrt{-1})=\frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma(\frac{3}{4})}}\)
데데킨트 에타함수
\(\eta(\sqrt{-1})=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{2 \pi ^{3/4}}\)