미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학

수학노트
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개요

  • 미분형식을 통하여 다변수미적분학의 내용을 새롭게 쓸 수 있다
  • 3차원 공간에 정의된 스칼라함수와 벡터장을 3차원 공간에 정의된 미분형식으로 이해
  • 미분연산자는 미분형식 사이에 정의되는 사상으로 이해할 수 있다


미분연산자

grad

  • 스칼라 함수 <math>f</math>에 대하여, <math>\operatorname{grad}(f) = \nabla f</math>는 다음과 같이 정의되는 벡터장이다
<math>

\nabla f=( f_x, f_y,f_z) </math>

  • 벡터장 <math>\nabla f=( f_x, f_y,f_z)</math> 를 1-형식 <math>f_x\, {d}x + f_y\, {d}y+f_z\,dz</math>로 생각하자
  • <math>\operatorname{grad}(f) = \nabla f</math> 는 스칼라 함수를 1-형식으로 보내는 다음과 같은 사상으로 이해할 수 있다
<math>d_0=\nabla : f\mapsto f_x\, {d}x + f_y\, {d}y+f_z\,dz</math>

curl

  • 벡터장 <math>\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)</math>에 대하여, <math>\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}</math> 는 다음과 같이 정의되는 벡터장이다
<math>\nabla\times \mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) \mathbf{k}</math>
  • <math>\mathbf{F}</math>를 1-형식 <math>F_1dx+F_2dy+F_3dz</math>, <math>\operatorname{curl}(\mathbf{F})=\nabla \times \mathbf{F}</math>를 다음과 같은 2-형식으로 생각하자
<math>\left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) dy\wedge dz + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) dz\wedge dx + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dx\wedge dy</math>
  • 이로부터 curl, <math>\nabla\times</math> 는 1-형식을 2-형식으로 보내는 다음과 같은 사상으로 이해할 수 있다
<math>d_1:F_1dx+F_2dy+F_3dz\mapsto \left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) dy\wedge dz + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) dz\wedge dx + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dx\wedge dy</math>

div

  • 벡터장 <math>\mathbf{F}=(F_1, F_2,F_3)</math>에 대하여, <math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}</math>는 다음과 같이 정의된 스칼라 함수이다
<math>

\nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z} </math>

  • 벡터장 <math>\mathbf{F}=(F_1, F_2,F_3)</math>를 2-형식 <math>F_1 dy \wedge dz +F_2 dz \wedge dx +F_3 dx \wedge dy</math>로, 스칼라 함수 <math>\nabla \cdot \mathbf{F}</math>를 다음과 같은 3-형식으로 생각하자
<math>

\left(\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}\right)dx\wedge dy\wedge dz </math>

  • 미분연산자 div는 2-형식을 -3형식으로 보내는 다음과 같은 사상으로 이해할 수 있다
<math>

d_2 : F_1 dy \wedge dz +F_2 dz \wedge dx +F_3 dx \wedge dy \mapsto \left(\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}\right)dx\wedge dy\wedge dz </math>

성질

  • 임의의 스칼라 함수 <math>f</math>와 벡터장 <math>\mathbf{F}</math>에 대하여, 다음이 성립한다
<math>

\nabla \times (\nabla f)=0\\ \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F})=0 </math>

  • 미분연산자를 미분형식에 정의되는 사상으로 이해하면, 이를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다
<math>

d_1\circ d_0=d_2\circ d_1=0 </math>


1-형식의 적분

  • 곡선 <math>C</math>의 매개화가 <math>\mathbf{r}(t)=( x(t), y(t), z(t)), \quad a\leq t \leq b</math>로 주어지는 경우
  • 1-form <math>\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz</math>
  • 곡선 C 위에서 1-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다
<math>\int_{C}\omega=\int_{a}^{b} \left(P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\right) \,dt</math>
  • 곡선 C 위에서 1-형식<math>\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz</math>의 적분은 벡터장<math>\mathbf{F}=(P,Q,R)</math>의 선적분과 같다
<math>\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}\omega</math>
증명
<math>\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) \, dt=\int_{a}^{b}\left(P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\right) \,dt=\int_{C}\omega</math> ■



2-형식의 적분

  • 3차원의 매개곡면 <math>S</math>, <math>\mathbf{r} (u,v)=( x(u,v), y(u,v), z(u,v)),\quad (u,v)\in D</math>
  • 2-form <math>\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy</math>
  • S 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다:<math>\iint_{S}\omega=\iint_D \left[ F_{1} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} + F_{2} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}F_{3} ( \mathbf{r} (u,v)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right]\, du\, dv</math>
  • 곡면 S위에서 2-형식 <math>\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy</math>의 적분은 벡터장<math>\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)</math>의 적분과 같다:<math>\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_{S}\omega</math>
증명

다음을 관찰하자

<math>{\partial \mathbf{r} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{r} \over \partial v}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v))}\right)</math>

다음을 얻는다

<math>\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_D (F_1,F_2,F_3)\cdot ({\partial \mathbf{x} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial v})\, du\, dv=\iint_{S}\omega</math>. ■



응용1. 스토크스 정리

<math>\int_S d\omega = \int_{\partial S} \omega</math>



관련된 항목들



수학용어번역

  • gradient - 대한수학회 수학용어집



사전형태의 자료



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메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'differential'}, {'LEMMA': 'form'}]
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