클라인-고든 방정식

수학노트
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개요

  • 슈뢰딩거 방정식 의 상대론적 일반화의 시도로부터 얻어짐
  • 스핀-0 입자의 스칼라 장에 대한 방정식
    • real
    • complex - charged spin zero particles
  • 특수 상대성 이론의 관계식 <math>E^2=p^2+m^2</math> 로부터 얻을 수 있다
  • <math>\Box + m^2=\frac{\partial^2}{\partial t^2 } - \nabla^2 +m^2</math>
  • <math>(\Box + m^2) \varphi = 0</math>
    • <math>(\Box + m^2) \varphi =\varphi_{tt}-\varphi_{xx}+m^2\varphi=0</math>
    • <math>(\Box + m^2) \varphi =\varphi_{tt}-\varphi_{xx}-\varphi_{yy}-\varphi_{zz}+m^2\varphi=0</math>



오일러-라그랑지 방정식

  • 라그랑지안 <math>\mathcal{L}(\varphi) = \frac{1}{2}\{\partial_{\mu}\partial^{\mu}\varphi - m^2\varphi^2\}</math> 에 대하여 오일러-라그랑지 방정식:<math>\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \varphi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi} = 0</math> 을 적용하여 얻어진다



free particle solution

  • <math>\varphi(t,\vec{x})=Ae^{-i(E t-\vec{p}\cdot \vec{x})}</math> 이 해가 되려면 <math>E^2=m^2+\vec{P}^2</math> 을 만족해야 한다




푸리에 급수해

  • wave number k 에 대하여, <math>E=k_0=\omega_k</math>, <math>\vec{p}=\vec{k}</math> 로 두자
  • real 스칼라 장에 대한 클라인-고든 방정식의 일반적인 푸리에 급수해는 다음과 같이 주어진다
<math>\varphi(x)=\int\frac{d^3 \vec{k}}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2\omega_{k}}}[a(\vec{k})e^{-i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}+a^{\dagger}(\vec{k})e^{i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}]</math>
    • 양자화 이후에 <math>a(\vec{k})</math>는 annihilation operator, <math>a^{\dagger}(\vec{k})</math>는 creation operator 로 불린다
  • conjugate momentum
<math>\pi(x)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_{0} \varphi )} = \frac{\partial \varphi}{\partial t} </math>
<math>\pi(x)=\partial_{0}\varphi(x)=-i\int\frac{d^3 k}{(2\pi)^{3/2}}\sqrt{\frac{\omega_{k}}{2}}[a(\vec{k})e^{-i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}-a^{\dagger}(\vec{k})e^{i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}]

</math>



양자화

  • equal time commutation relations
  • <math>[\hat \varphi(x),\hat{\pi}(y)] =i\delta(\vec{x}-\vec{y})</math>
  • <math>[\hat \varphi(x),\hat{\varphi}(y)] =0</math>
  • <math>[\hat \pi(x),\hat{\pi}(y)] =0</math>




역사

  • 클라인-고든 방정식의 해를 양자역학에서의 상대론적 파동함수로 해석할 때의 두 가지 문제점
    • negative energy states 의 존재
    • negative probability density
  • 파동함수가 아닌 장 방정식으로 해석할 때 문제점이 사라진다
  • http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
  • 수학사 연표



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