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* <math>R(x,\sqrt{1-x^2})</math>의 적분<br><math>x=\cos u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cos x, \sin x)</math> 의 적분으로 변화<br> | * <math>R(x,\sqrt{1-x^2})</math>의 적분<br><math>x=\cos u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cos x, \sin x)</math> 의 적분으로 변화<br> | ||
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* <math>R(x,\sqrt{x^2+1})</math>의 적분<br><math>x=\sinh u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분으로 변화<br> | * <math>R(x,\sqrt{x^2+1})</math>의 적분<br><math>x=\sinh u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분으로 변화<br> | ||
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* <math>R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})</math>의 적분<br><math>ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\}</math> 으로 쓴 다음<br> | * <math>R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})</math>의 적분<br><math>ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\}</math> 으로 쓴 다음<br> | ||
| − | * <math>ac-b^2</math>와 <math>a</math>의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝. | + | * <math>ac-b^2</math>와 <math>a</math>의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.<br>[[오일러 치환|오일러치환]] 항목 참조<br> |
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** '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하다<br> 즉, <math>y^2=ax^2+bx+c</math> 라는 곡선을, 유리함수 <math>f,g</math>를 사용하여 <math>x=f(t), y=g(t)</math> 형태로 매개화할 수 있기 때문이다. <br> | ** '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하다<br> 즉, <math>y^2=ax^2+bx+c</math> 라는 곡선을, 유리함수 <math>f,g</math>를 사용하여 <math>x=f(t), y=g(t)</math> 형태로 매개화할 수 있기 때문이다. <br> | ||
** 삼각함수와 쌍곡함수들은 이차곡선을 매개화한다<br> | ** 삼각함수와 쌍곡함수들은 이차곡선을 매개화한다<br> | ||
| + | * <math>R(x,y)</math>는 <math>x,y</math>의 유리함수라고 가정<br> | ||
| + | * <math>R(\cos x, \sin x)</math>의 적분<br> | ||
| − | + | * 다음과 같은 치환적분을 사용 (이를 [[바이어슈트라스 치환]] 이라 한다)<br><math>t=\tan \frac{x}{2}</math>, <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}</math>, <math>\sin x=\frac{2t}{1+t^2}</math>, <math>\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math><br><math>\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt</math><br> | |
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전형태의 자료</h5> | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전형태의 자료</h5> | ||
| − | + | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%BC%EA%B0%81%EC%B9%98%ED%99%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/삼각치환][http://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_half-angle_formula ] | |
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution | * http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution | ||
* http://www.wolframalpha.com/input/?i= | * http://www.wolframalpha.com/input/?i= | ||
2010년 8월 21일 (토) 18:12 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- \(R(x,\sqrt{1-x^2})\)의 적분
\(x=\cos u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cos x, \sin x)\) 의 적분으로 변화 - \(R(x,\sqrt{x^2-1})\)의 적분
\(x=\cosh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화 - \(R(x,\sqrt{x^2+1})\)의 적분
\(x=\sinh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화 - \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)의 적분
\(ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\}\) 으로 쓴 다음 - \(ac-b^2\)와 \(a\)의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.
오일러치환 항목 참조
삼각치환의 이론적 근거
- 다음의 사실들을 알고 있어야 한다
- 유리함수의 부정적분은 초등함수로 쓸수 있다
- '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하다
즉, \(y^2=ax^2+bx+c\) 라는 곡선을, 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\) 형태로 매개화할 수 있기 때문이다. - 삼각함수와 쌍곡함수들은 이차곡선을 매개화한다
- 유리함수의 부정적분은 초등함수로 쓸수 있다
- \(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수라고 가정
- \(R(\cos x, \sin x)\)의 적분
- 다음과 같은 치환적분을 사용 (이를 바이어슈트라스 치환 이라 한다)
\(t=\tan \frac{x}{2}\), \(\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}\), \(\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\), \(\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\)
\(\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt\)
\(R(\cosh x, \sinh x)\)의 적분
- 다음과 같은 치환적분을 사용
\(t=\tanh \frac{x}{2}\), \(\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}\), \(\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}\), \(\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}\)
\(\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt\)
역사
관련된 항목들
관련도서 및 추천도서
- 도서내검색
- 도서검색
수학용어번역
사전형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/삼각치환[1]
- http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- 네이버 오늘의과학
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)