삼각치환

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• 삼각치환
  

 

 

개요

• \(R(x,\sqrt{1-x^2})\)의 적분
  \(x=\cos u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cos x, \sin x)\) 의 적분으로 변화
  
• \(R(x,\sqrt{x^2-1})\)의 적분
  \(x=\cosh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화
  
• \(R(x,\sqrt{x^2+1})\)의 적분
  \(x=\sinh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화
  
• \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)의 적분
  \(ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\}\) 으로 쓴 다음
  
• \(ac-b^2\)와 \(a\)의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.
  오일러치환 항목 참조
  

 

 

삼각치환의 이론적 근거

• 다음의 사실들을 알고 있어야 한다
  
  • 유리함수의 부정적분은 초등함수로 쓸수 있다
    
  • '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하다
    즉, \(y^2=ax^2+bx+c\) 라는 곡선을, 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\) 형태로 매개화할 수 있기 때문이다. 
    
  • 삼각함수와 쌍곡함수들은 이차곡선을 매개화한다
    
• \(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수라고 가정
  
• \(R(\cos x, \sin x)\)의 적분
  

• 다음과 같은 치환적분을 사용 (이를 바이어슈트라스 치환 이라 한다)
  \(t=\tan \frac{x}{2}\), \(\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}\), \(\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\), \(\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\)
  \(\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt\)
  
• \(R(\cosh x, \sinh x)\)의 적분
  

• 다음과 같은 치환적분을 사용
  \(t=\tanh \frac{x}{2}\), \(\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}\), \(\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}\), \(\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}\)
  \(\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt\)
  

 

 

역사

• 수학사연표

 

 

관련된 항목들

• 오일러 치환
  

 

 

관련도서 및 추천도서

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http://mathworld.wolfram.com/TrigonometricSubstitution.html

 

 

 

사전형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/삼각치환[1]
• http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution

 

 

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