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*  자기장에 대한 가우스의 법칙<br><math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math><br>
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* 패러데이의 법칙
 
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==맥스웰 방정식의 벡터 해석학적 표현 (적분)==
 
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*  전기장에 대한 가우스의 법칙<br><math>\iint_{S} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{S} = \frac {Q} {\varepsilon_0}</math><br>
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*  자기장에 대한 가우스의 법칙<br><math>\iint_{S} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} = 0</math><br>
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*  자기장에 대한 가우스의 법칙:<math>\iint_{S} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} = 0</math><br>
 
* 패러데이의 법칙
 
* 패러데이의 법칙
  
 
<math>\int_{C} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{r} =-\frac{d}{dt}\iint_{S} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} </math>
 
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*  앙페르 법칙<br><math>\int_{C} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{r} =\mu_0(I+\varepsilon_{0}\frac{d}{dt}\iint_{S} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{S})</math><br>
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*  앙페르 법칙:<math>\int_{C} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{r} =\mu_0(I+\varepsilon_{0}\frac{d}{dt}\iint_{S} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{S})</math><br>
  
 
* 단위는 MKS system of units
 
* 단위는 MKS system of units
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* <math>\varepsilon_0</math> vacuum permittivity
 
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*  포벡터<br><math>x^{\alpha}= \left(ct,x,y,z\right) </math><br><math>x_{\alpha}= \left(ct,-x,-y,-z\right) </math><br><math>\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}= \partial_\alpha= \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \nabla\right) </math><br><math>\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}= \partial^\alpha= \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, -\nabla\right) </math><br><math> j^{\alpha}=(c\rho, J_x,J_y,J_z)</math><br>
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==파동 방정식의 유도==
 
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*  미분연산자 사이에는 다음과 같은 항등식이 성립 ([[미분연산자]][[다변수미적분학|다변수미적분학]] 항목 참조)<br><math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}</math><br><math> \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})</math><br>
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*  미분연산자 사이에는 다음과 같은 항등식이 성립 ([[미분연산자]][[다변수미적분학|다변수미적분학]] 항목 참조):<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}</math>:<math> \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})</math><br>
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*  전기장에 대한 가우스의 법칙과 패러데이의 법칙으로부터 다음을 얻는다<br><math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math>, <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math><br><math> \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \nabla \times \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\nabla \times \mathbf{B})} {\partial t}</math><br>
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*  전기장에 대한 가우스의 법칙과 패러데이의 법칙으로부터 다음을 얻는다:<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math>, <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>:<math> \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \nabla \times \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\nabla \times \mathbf{B})} {\partial t}</math><br>
 
* 앙페르-패러데이 법칙으로부터 다음을 얻는다
 
* 앙페르-패러데이 법칙으로부터 다음을 얻는다
  
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<math> \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\mu_0\mathbf{J} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ )} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \mu_0\frac{\partial \mathbf{J} }{\partial t} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}</math>
 
<math> \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\mu_0\mathbf{J} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ )} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \mu_0\frac{\partial \mathbf{J} }{\partial t} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}</math>
  
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* <math>\rho=0, \mathbf{J}=0 </math>인 곳에서 전기장은 파동방정식을 만족시키게 된다<br><math> \nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}</math><br>
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* <math>\rho=0, \mathbf{J}=0 </math>인 곳에서 전기장은 파동방정식을 만족시키게 된다:<math> \nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}</math><br>
  
 
 
 
 

2013년 1월 12일 (토) 10:36 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

 

 

 

맥스웰 방정식의 벡터 해석학적 표현 (미분)

  • 전기장에 대한 가우스의 법칙\[\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\]
  • 자기장에 대한 가우스의 법칙\[\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\]
  • 패러데이의 법칙

\(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\)

  • 앙페르 법칙

\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \)

  • 단위는 MKS system of units

 

 

 

맥스웰 방정식의 벡터 해석학적 표현 (적분)

  • 전기장에 대한 가우스의 법칙\[\iint_{S} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{S} = \frac {Q} {\varepsilon_0}\]
  • 자기장에 대한 가우스의 법칙\[\iint_{S} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} = 0\]
  • 패러데이의 법칙

\(\int_{C} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{r} =-\frac{d}{dt}\iint_{S} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} \)

  • 앙페르 법칙\[\int_{C} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{r} =\mu_0(I+\varepsilon_{0}\frac{d}{dt}\iint_{S} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{S})\]
  • 단위는 MKS system of units

 

 

 

 

기호

  • 메트릭  η =g_{\mu\nu}= diag(+1, −1, −1, −1)
  • 벡터 포텐셜 \(\mathbf{A}(x,y,z,t)=(A_{x},A_{y},A_{z})\)
  • 스칼라 포텐셜 \(\phi(x,y,z,t)\)
  • 전기장 \(\mathbf{E}(x,y,z,t)=(E_x,E_y,E_z)\)
  • 자기장 \(\mathbf{B}(x,y,z,t)=(B_x,B_y,B_z)\)
  • 전하 밀도 (스칼라) \(\rho(x,y,z,t)\)
  • 전류 밀도 \(\mathbf{J}(x,y,z,t)=(J_x,J_y,J_z)\)
  • \(\mu_0\) vacuum permeability
  • \(\varepsilon_0\) vacuum permittivity
  • \(c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}\)
  • 포벡터\[x^{\alpha}= \left(ct,x,y,z\right) \]\[x_{\alpha}= \left(ct,-x,-y,-z\right) \]\[\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}= \partial_\alpha= \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \nabla\right) \]\[\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}= \partial^\alpha= \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, -\nabla\right) \]\[ j^{\alpha}=(c\rho, J_x,J_y,J_z)\]

 

 

파동 방정식의 유도

  • 미분연산자 사이에는 다음과 같은 항등식이 성립 (미분연산자다변수미적분학 항목 참조)\[\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}\]\[ \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})\]
  • 전기장에 대한 가우스의 법칙과 패러데이의 법칙으로부터 다음을 얻는다\[\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\], \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\)\[ \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \nabla \times \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\nabla \times \mathbf{B})} {\partial t}\]
  • 앙페르-패러데이 법칙으로부터 다음을 얻는다

\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \)

\( \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\mu_0\mathbf{J} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ )} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \mu_0\frac{\partial \mathbf{J} }{\partial t} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}\)

  • \(\rho=0, \mathbf{J}=0 \)인 곳에서 전기장은 파동방정식을 만족시키게 된다\[ \nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}\]

 

 

연속 방정식

  • 앙페르-패러데이 법칙과 가우스 법칙이 사용된다.
  • 앙페르-패러데이 법칙에서 시작하자

\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \) 에 divergence 연산자를 적용하여,

\(\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{B} ) = \mu_0 \nabla \cdot \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t}\)

\( \nabla \cdot \mathbf{J} + \epsilon_0\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t} = 0\)

가우스 법칙 \(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\) 을 적용하면,

\( \nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0\) 을 얻는다.

  • 마지막에 얻어진 방정식을 연속 방정식 이라 부르며 국소적인 전하의 보존을 의미한다

 

 

 

 

 

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역사

  • 1820 앙페르
  • 맥스웰
  • 올리버 헤비사이트
  • 하인리히 헤르츠
  • 수학사연표

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

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매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

 

사전 형태의 자료

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