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2013년 1월 23일 (수) 07:45 판

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삼각치환

개요

\(R(x,\sqrt{1-x^2})\)의 적분\[x=\cos u\] 치환을 사용하면, \(R'(\cos x, \sin x)\) 의 적분으로 변화
\(R(x,\sqrt{x^2-1})\)의 적분\[x=\cosh u\] 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화
\(R(x,\sqrt{x^2+1})\)의 적분\[x=\sinh u\] 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화
\(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)의 적분\[ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\left((ax+b)^2+{ac-b^2}\right)\] 으로 쓴 다음
\(ac-b^2\)와 \(a\)의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.
오일러치환 항목 참조

삼각치환의 이론적 근거

다음의 사실들을 알고 있어야 한다
- 유리함수의 부정적분은 초등함수로 쓸수 있다
- '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하다 즉, \(y^2=ax^2+bx+c\) 라는 곡선을, 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\) 형태로 매개화할 수 있기 때문이다.
- 삼각함수와 쌍곡함수들은 이차곡선을 매개화한다

삼각치환

\(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수라고 가정

\(R(\cos x, \sin x)\)의 적분

다음과 같은 치환적분을 사용 (이를 바이어슈트라스 치환 이라 한다)

\[t=\tan \frac{x}{2},\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2},\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\]

다음을 얻는다

\[\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt\]

\(R(\cosh x, \sinh x)\)의 적분

다음과 같은 치환적분을 사용

\[t=\tanh \frac{x}{2},\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2},\sinh x=\frac{2t}{1-t^2},\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}\]

다음을 얻는다

\[\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt\]

역사

수학사 연표

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사전형태의 자료

블로그

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 ==삼각치환의 이론적 근거==
+* 다음의 사실들을 알고 있어야 한다
+** 유리함수의 부정적분은 초등함수로 쓸수 있다
+** '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하다 즉, <math>y^2=ax^2+bx+c</math> 라는 곡선을, 유리함수 <math>f,g</math>를 사용하여 <math>x=f(t), y=g(t)</math> 형태로 매개화할 수 있기 때문이다.
+** 삼각함수와 쌍곡함수들은 이차곡선을 매개화한다
-*  다음의 사실들을 알고 있어야 한다<br>
-**  유리함수의 부정적분은 초등함수로 쓸수 있다<br>
-**  '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하다<br> 즉, <math>y^2=ax^2+bx+c</math> 라는 곡선을, 유리함수 <math>f,g</math>를 사용하여 <math>x=f(t), y=g(t)</math> 형태로 매개화할 수 있기 때문이다. <br>
-**  삼각함수와 쌍곡함수들은 이차곡선을 매개화한다<br>
-* <math>R(x,y)</math>는 <math>x,y</math>의 유리함수라고 가정<br>
-* <math>R(\cos x, \sin x)</math>의 적분<br>
-*  다음과 같은 치환적분을 사용 (이를 [[바이어슈트라스 치환]] 이라 한다):<math>t=\tan \frac{x}{2}</math>, <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}</math>, <math>\sin x=\frac{2t}{1+t^2}</math>, <math>\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math>:<math>\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt</math><br>
+==삼각치환==
-* <math>R(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분<br>
+* <math>R(x,y)</math>는 <math>x,y</math>의 유리함수라고 가정
-*  다음과 같은 치환적분을 사용:<math>t=\tanh \frac{x}{2}</math>, <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}</math>, <math>\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}</math>, <math>\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}</math>:<math>\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt</math><br>
+===<math>R(\cos x, \sin x)</math>의 적분===
+* 다음과 같은 치환적분을 사용 (이를 [[바이어슈트라스 치환]] 이라 한다)
+:<math>t=\tan \frac{x}{2},\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2},\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math>
+* 다음을 얻는다
+:<math>\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt</math>
+===<math>R(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분===
+* 다음과 같은 치환적분을 사용
+:<math>t=\tanh \frac{x}{2},\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2},\sinh x=\frac{2t}{1-t^2},\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}</math>
+* 다음을 얻는다
+:<math>\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt</math>
 ==역사==