"맥스웰 방정식"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| 12번째 줄: | 12번째 줄: | ||
* 자기장에 대한 가우스의 법칙:<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math><br> | * 자기장에 대한 가우스의 법칙:<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math><br> | ||
* 패러데이의 법칙 | * 패러데이의 법칙 | ||
| − | + | :<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math> | |
| − | <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math> | ||
| − | |||
* 앙페르 법칙 | * 앙페르 법칙 | ||
| − | + | :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math> | |
| − | <math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math> | ||
| − | |||
* 단위는 MKS system of units | * 단위는 MKS system of units | ||
| 29번째 줄: | 25번째 줄: | ||
==맥스웰 방정식의 벡터 해석학적 표현 (적분)== | ==맥스웰 방정식의 벡터 해석학적 표현 (적분)== | ||
| − | * 전기장에 대한 가우스의 법칙:<math>\iint_{S} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{S} = \frac {Q} {\varepsilon_0}</math><br> | + | * 전기장에 대한 가우스의 법칙 |
| − | * 자기장에 대한 가우스의 법칙:<math>\iint_{S} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} = 0</math><br> | + | :<math>\iint_{S} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{S} = \frac {Q} {\varepsilon_0}</math><br> |
| + | * 자기장에 대한 가우스의 법칙 | ||
| + | :<math>\iint_{S} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} = 0</math><br> | ||
* 패러데이의 법칙 | * 패러데이의 법칙 | ||
| − | + | :<math>\int_{C} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{r} =-\frac{d}{dt}\iint_{S} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} </math> | |
| − | <math>\int_{C} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{r} =-\frac{d}{dt}\iint_{S} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} </math> | + | * 앙페르 법칙 |
| − | + | :<math>\int_{C} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{r} =\mu_0(I+\varepsilon_{0}\frac{d}{dt}\iint_{S} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{S})</math><br> | |
| − | * 앙페르 법칙:<math>\int_{C} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{r} =\mu_0(I+\varepsilon_{0}\frac{d}{dt}\iint_{S} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{S})</math><br> | ||
| − | |||
* 단위는 MKS system of units | * 단위는 MKS system of units | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| 68번째 줄: | 59번째 줄: | ||
* 미분연산자 사이에는 다음과 같은 항등식이 성립 ([[미분연산자]][[다변수미적분학|다변수미적분학]] 항목 참조):<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}</math>:<math> \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})</math><br> | * 미분연산자 사이에는 다음과 같은 항등식이 성립 ([[미분연산자]][[다변수미적분학|다변수미적분학]] 항목 참조):<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}</math>:<math> \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})</math><br> | ||
| − | * 전기장에 대한 가우스의 법칙과 패러데이의 법칙으로부터 다음을 얻는다:<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0} | + | * 전기장에 대한 가우스의 법칙과 패러데이의 법칙으로부터 다음을 얻는다 |
| + | :<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}, \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>:<math> \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \nabla \times \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\nabla \times \mathbf{B})} {\partial t}</math><br> | ||
* 앙페르-패러데이 법칙으로부터 다음을 얻는다 | * 앙페르-패러데이 법칙으로부터 다음을 얻는다 | ||
| − | + | :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math> | |
| − | <math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math> | + | :<math> \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\mu_0\mathbf{J} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ )} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \mu_0\frac{\partial \mathbf{J} }{\partial t} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}</math> |
| − | |||
| − | <math> \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\mu_0\mathbf{J} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ )} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \mu_0\frac{\partial \mathbf{J} }{\partial t} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}</math> | ||
* <math>\rho=0, \mathbf{J}=0 </math>인 곳에서 전기장은 파동방정식을 만족시키게 된다:<math> \nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}</math><br> | * <math>\rho=0, \mathbf{J}=0 </math>인 곳에서 전기장은 파동방정식을 만족시키게 된다:<math> \nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}</math><br> | ||
| 85번째 줄: | 75번째 줄: | ||
* 앙페르-패러데이 법칙과 가우스 법칙이 사용된다. | * 앙페르-패러데이 법칙과 가우스 법칙이 사용된다. | ||
* 앙페르-패러데이 법칙에서 시작하자 | * 앙페르-패러데이 법칙에서 시작하자 | ||
| − | + | :<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math> 에 divergence 연산자를 적용하여, | |
| − | <math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math> 에 divergence 연산자를 적용하여, | + | :<math>\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{B} ) = \mu_0 \nabla \cdot \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t}</math> |
| − | + | :<math> \nabla \cdot \mathbf{J} + \epsilon_0\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t} = 0</math> | |
| − | <math>\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{B} ) = \mu_0 \nabla \cdot \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t}</math> | ||
| − | |||
| − | <math> \nabla \cdot \mathbf{J} + \epsilon_0\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t} = 0</math> | ||
가우스 법칙 <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math> 을 적용하면, | 가우스 법칙 <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math> 을 적용하면, | ||
| − | + | :<math> \nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0</math> 을 얻는다. | |
| − | <math> \nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0</math> 을 얻는다. | ||
| − | |||
* 마지막에 얻어진 방정식을 [[연속 방정식]] 이라 부르며 국소적인 전하의 보존을 의미한다<br> | * 마지막에 얻어진 방정식을 [[연속 방정식]] 이라 부르며 국소적인 전하의 보존을 의미한다<br> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | == 하위페이지 == | |
| − | * [[맥스웰 방정식]] | + | * [[맥스웰 방정식]] |
| − | + | * [[미분형식과 맥스웰 방정식]] | |
| − | + | * [[전자기 텐서와 맥스웰 방정식]] | |
| − | + | * [[전자기 포텐셜과 맥스웰 방정식]] | |
| − | |||
| − | |||
| 151번째 줄: | 127번째 줄: | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
2013년 3월 10일 (일) 10:11 판
개요
맥스웰 방정식의 벡터 해석학적 표현 (미분)
- 전기장에 대한 가우스의 법칙\[\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\]
- 자기장에 대한 가우스의 법칙\[\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\]
- 패러데이의 법칙
\[\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\]
- 앙페르 법칙
\[\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \]
- 단위는 MKS system of units
맥스웰 방정식의 벡터 해석학적 표현 (적분)
- 전기장에 대한 가우스의 법칙
\[\iint_{S} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{S} = \frac {Q} {\varepsilon_0}\]
- 자기장에 대한 가우스의 법칙
\[\iint_{S} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} = 0\]
- 패러데이의 법칙
\[\int_{C} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{r} =-\frac{d}{dt}\iint_{S} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} \]
- 앙페르 법칙
\[\int_{C} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{r} =\mu_0(I+\varepsilon_{0}\frac{d}{dt}\iint_{S} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{S})\]
- 단위는 MKS system of units
기호
- 메트릭 η =g_{\mu\nu}= diag(+1, −1, −1, −1)
- 벡터 포텐셜 \(\mathbf{A}(x,y,z,t)=(A_{x},A_{y},A_{z})\)
- 스칼라 포텐셜 \(\phi(x,y,z,t)\)
- 전기장 \(\mathbf{E}(x,y,z,t)=(E_x,E_y,E_z)\)
- 자기장 \(\mathbf{B}(x,y,z,t)=(B_x,B_y,B_z)\)
- 전하 밀도 (스칼라) \(\rho(x,y,z,t)\)
- 전류 밀도 \(\mathbf{J}(x,y,z,t)=(J_x,J_y,J_z)\)
- \(\mu_0\) vacuum permeability
- \(\varepsilon_0\) vacuum permittivity
- \(c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}\)
- 포벡터\[x^{\alpha}= \left(ct,x,y,z\right) \]\[x_{\alpha}= \left(ct,-x,-y,-z\right) \]\[\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}= \partial_\alpha= \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \nabla\right) \]\[\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}= \partial^\alpha= \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, -\nabla\right) \]\[ j^{\alpha}=(c\rho, J_x,J_y,J_z)\]
파동 방정식의 유도
- 미분연산자 사이에는 다음과 같은 항등식이 성립 (미분연산자다변수미적분학 항목 참조)\[\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}\]\[ \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})\]
- 전기장에 대한 가우스의 법칙과 패러데이의 법칙으로부터 다음을 얻는다
\[\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}, \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\]\[ \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \nabla \times \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\nabla \times \mathbf{B})} {\partial t}\]
- 앙페르-패러데이 법칙으로부터 다음을 얻는다
\[\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \] \[ \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\mu_0\mathbf{J} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ )} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \mu_0\frac{\partial \mathbf{J} }{\partial t} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}\]
- \(\rho=0, \mathbf{J}=0 \)인 곳에서 전기장은 파동방정식을 만족시키게 된다\[ \nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}\]
연속 방정식
- 앙페르-패러데이 법칙과 가우스 법칙이 사용된다.
- 앙페르-패러데이 법칙에서 시작하자
\[\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \] 에 divergence 연산자를 적용하여, \[\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{B} ) = \mu_0 \nabla \cdot \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t}\] \[ \nabla \cdot \mathbf{J} + \epsilon_0\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t} = 0\]
가우스 법칙 \(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\) 을 적용하면, \[ \nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0\] 을 얻는다.
- 마지막에 얻어진 방정식을 연속 방정식 이라 부르며 국소적인 전하의 보존을 의미한다
하위페이지
역사
- 1820 앙페르
- 맥스웰
- 올리버 헤비사이트
- 하인리히 헤르츠
- 수학사 연표
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스