"유리함수의 부정적분"의 두 판 사이의 차이
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| − | == | + | ==<math>1/(1+x^4)</math>의 부정적분== |
| − | * [[유리함수의 부분 분수 분해|부분 분수]]로 분해하면 다음을 얻는다 | + | * [[유리함수의 부분 분수 분해|부분 분수]]로 분해하면 다음을 얻는다 :<math>\frac{1}{1+x^4}=-\frac{x-\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \left(x^2-\sqrt{2} x+1\right)}+\frac{x+\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)}</math> |
* 부분 분수 분해에 등장하는 유리함수의 부정적분은 다음과 같다 | * 부분 분수 분해에 등장하는 유리함수의 부정적분은 다음과 같다 | ||
| − | + | :<math>\int \frac{x-\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \left(x^2-\sqrt{2} x+1\right)} \, dx= \frac{\log \left(x^2-\sqrt{2} x+1\right)+2 \tan ^{-1}\left(1-\sqrt{2} x\right)}{4 \sqrt{2}} </math> | |
| − | + | :<math>\int \frac{x+\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)} \, dx= \frac{\log \left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)+2 \tan ^{-1}\left(\sqrt{2} x+1\right)}{4 \sqrt{2}}</math> | |
| − | * 따라서 | + | * 따라서 :<math>\int \frac{1}{1+x^4} \, dx=\frac{-\log \left(x^2-\sqrt{2} x+1\right)+\log \left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)-2 \tan ^{-1}\left(1-\sqrt{2} x\right)+2 \tan ^{-1}\left(\sqrt{2} x+1\right)}{4 \sqrt{2}}</math> |
==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
2020년 11월 12일 (목) 01:52 기준 최신판
예
\(1/(1+x^4)\)의 부정적분
- 부분 분수로 분해하면 다음을 얻는다 \[\frac{1}{1+x^4}=-\frac{x-\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \left(x^2-\sqrt{2} x+1\right)}+\frac{x+\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)}\]
- 부분 분수 분해에 등장하는 유리함수의 부정적분은 다음과 같다
\[\int \frac{x-\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \left(x^2-\sqrt{2} x+1\right)} \, dx= \frac{\log \left(x^2-\sqrt{2} x+1\right)+2 \tan ^{-1}\left(1-\sqrt{2} x\right)}{4 \sqrt{2}} \] \[\int \frac{x+\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)} \, dx= \frac{\log \left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)+2 \tan ^{-1}\left(\sqrt{2} x+1\right)}{4 \sqrt{2}}\]
- 따라서 \[\int \frac{1}{1+x^4} \, dx=\frac{-\log \left(x^2-\sqrt{2} x+1\right)+\log \left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)-2 \tan ^{-1}\left(1-\sqrt{2} x\right)+2 \tan ^{-1}\left(\sqrt{2} x+1\right)}{4 \sqrt{2}}\]