"벡터의 외적(cross product)"의 두 판 사이의 차이
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| + | * 두 벡터 <math>\mathbf{a}, \mathbf{b}</math>의 외적 <math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}</math>는 <math>\mathbf{a}, \mathbf{b}</math>에 각각 수직이며, 크기가 <math>|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|\sin\theta</math>인 벡터가 된다 | ||
| + | * 벡터의 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이와 같게 됨 | ||
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| + | * <math>\mathbb{R}^3</math>의 단위벡터 <math>\mathbf{i}=(1,0,0), \mathbf{j}=(0,1,0), \mathbf{k}=(0,0,1)</math> | ||
| + | * <math>\mathbb{R}^3</math>의 두 벡터 <math>\mathbf a = (a_1, a_2, a_3)</math>과 <math>\mathbf b = (b_1, b_2, b_3)</math>에 대하여, 외적 <math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}\in \mathbb{R}^3</math>는 다음과 같이 정의됨 | ||
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| + | \mathbf{a}\times\mathbf{b}:&=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \\ | ||
| + | {}&=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1) | ||
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| + | 여기서 <math>\begin{vmatrix}\cdot \end{vmatrix}</math>는 [[행렬식]] | ||
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* <math>\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=0</math> | * <math>\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=0</math> | ||
| − | * | + | * 라그랑지 항등식 :<math>|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^{2}+(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})^{2}=|\mathbf{a}|^{2}|\mathbf{b}|^{2}</math> |
| − | * | + | * 스칼라 삼중곱:<math>\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})= \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix}</math> |
| − | + | * 벡터 삼중곱 (라그랑지 공식):<math>\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}</math> | |
| − | * 벡터 삼중곱 (라그랑지 공식) | + | * 자코비 항등식:<math>\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})+\mathbf{b}\times (\mathbf{c}\times \mathbf{a})+\mathbf{c}\times (\mathbf{a}\times \mathbf{b})=\mathbf{0}</math> |
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* 사원수의 곱셈은 3차원 벡터의 내적, 외적과 다음과 같은 관계를 가진다. | * 사원수의 곱셈은 3차원 벡터의 내적, 외적과 다음과 같은 관계를 가진다. | ||
* <math>\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)</math> 라 두고, 사원수 <math>a+x_1i+x_2j+x_3k</math>를 <math>(a,\mathbf{x)}</math>로 쓰자. | * <math>\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)</math> 라 두고, 사원수 <math>a+x_1i+x_2j+x_3k</math>를 <math>(a,\mathbf{x)}</math>로 쓰자. | ||
| − | * <math>(a+x_1i+x_2j+x_3k) | + | * 다음이 성립한다 |
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| + | 여기서 좌변은 두 사원수의 곱, <math>\cdot\,</math>은 [[벡터의 내적]],<math>\times\,</math>는 3차원 벡터의 외적 | ||
| + | * [[해밀턴의 사원수(quarternions)]] 항목 참조 | ||
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| + | * 3차원에서 정의되는 외적을 일반적인 <math>\mathbb{R}^n</math>으로 일반화하는 것은 간단하지 않다 | ||
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| − | + | ;정리 | |
| − | + | <math>n</math>차원 유클리드 벡터공간 <math>\mathbb{R}^{n}</math> 에 정의된 이항연산이 아래의 세 조건을 만족한다면, <math>n=1,3,7</math> 이 성립한다. | |
| − | + | * 겹선형성(bilinearity) | |
| − | + | * <math>\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=0</math> | |
| − | < | + | * 라그랑지 항등식 <math>|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^{2}+(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})^{2}=|\mathbf{a}|^{2}|\mathbf{b}|^{2}</math> |
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| − | <math>\mathbb{R}^{n}</math> 위에 정의된 외적의 공리를 | + | <math>\mathbb{R}^{n}</math> 위에 정의된 외적의 공리를 만족시키는 이항연산 <math>\times</math>가 존재한다고 하자. |
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| + | 그러면 <math>\mathbb{R}^{n+1}=\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}^{n}=\{(a,\mathbf{x)}|a\in\mathbb{R},\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n}\}</math> 위에 다음과 같은 이항연산을 정의할 수 있다. | ||
| + | :<math>(a,\mathbf{x)}(b,\mathbf{y)}:=(ab-\mathbf{x}\cdot\mathbf{y},a\mathbf{y}+b\mathbf{x}+\mathbf{x}\times\mathbf{y})</math> | ||
| + | 다음의 사실들을 쉽게 확인할 수 있다. | ||
| + | * 겹선형성(bilinearity) | ||
| + | * 항등원의 존재 <math>(1,\mathbf{0)}(a,\mathbf{x)}=(a,\mathbf{x)}(1,\mathbf{0)}=(a,\mathbf{x)}</math> | ||
| + | * 곱셈의 norm 보존 <math>|(a,\mathbf{x)}(b,\mathbf{y)}|^2=|(a,\mathbf{x)}|^{2}|(b,\mathbf{y)}|^2</math> | ||
그러므로 composition 대수에 대한 후르비츠의 정리([[1,2,4,8 과 1,3,7]] 항목 참조) 로부터 <math>n=1,3,7</math> 을 얻는다. ■ | 그러므로 composition 대수에 대한 후르비츠의 정리([[1,2,4,8 과 1,3,7]] 항목 참조) 로부터 <math>n=1,3,7</math> 을 얻는다. ■ | ||
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==Levi-Civita 텐서== | ==Levi-Civita 텐서== | ||
| + | * <math>1\leq i,j,k \leq 3</math>에 대하여 <math>\varepsilon_{ijk}</math>를 다음과 같이 정의하자 | ||
| + | :<math>\varepsilon_{ijk} = \varepsilon^{ijk} =\begin{cases}+1 & \text{if } (i,j,k) \text{ is } (1,2,3), (3,1,2) \text{ or } (2,3,1), \\-1 & \text{if } (i,j,k) \text{ is } (1,3,2), (3,2,1) \text{ or } (2,1,3), \\\;\;\,0 & \text{if }i=j \text{ or } j=k \text{ or } k=i\end{cases} </math> | ||
| + | * 두 벡터 <math>\mathbf a = (a_1, a_2, a_3)</math>과 <math>\mathbf b = (b_1, b_2, b_3)</math>에 대하여 <math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3)</math>라 두면,:<math>c_i= \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k</math> | ||
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==리대수 구조== | ==리대수 구조== | ||
| + | * [[파울리 행렬]] 의 commutator <math>\left[\sigma _i,\sigma _j\right]=2i \epsilon _{i j k}\sigma _k</math> 를 이용하면, 다음을 얻는다:<math>\left[\frac{\sigma _i}{2i},\frac{\sigma _j}{2i}\right]=\epsilon _{i j k}\frac{\sigma _k}{2i}</math> | ||
| − | + | ==메모== | |
| − | + | * http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=66085 | |
| − | + | * Gonano, Carlo Andrea, and Riccardo Enrico Zich. “Cross Product in N Dimensions - the Doublewedge Product.” arXiv:1408.5799 [math], July 21, 2014. http://arxiv.org/abs/1408.5799. | |
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| − | * http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=66085 | ||
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==역사== | ==역사== | ||
* Josiah Willard Gibbs published a treatise on vector algebra which included a definition of the vector dot product and vector cross product. | * Josiah Willard Gibbs published a treatise on vector algebra which included a definition of the vector dot product and vector cross product. | ||
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| − | * [ | + | * [[행렬식]] |
| + | * [[해밀턴의 사원수(quarternions)]] | ||
| + | * [[파울리 행렬]] | ||
| + | * [[1,2,4,8 과 1,3,7]] | ||
| + | * [[평면의 방정식]] | ||
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVUJSanlSbHlZZmc/edit?pli=1 | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVUJSanlSbHlZZmc/edit?pli=1 | ||
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| − | + | * http://ko.wikipedia.org/wiki/외적 | |
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product | * http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product | ||
| − | * | + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product/wiki/Cross_product |
* http://en.wikipedia.org/wiki/Seven-dimensional_cross_product | * http://en.wikipedia.org/wiki/Seven-dimensional_cross_product | ||
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| − | * '''[Massey1983]'''[http://www.jstor.org/stable/2323537 Cross Products of Vectors in Higher Dimensional Euclidean Spaces] | + | * '''[Massey1983]'''[http://www.jstor.org/stable/2323537 Cross Products of Vectors in Higher Dimensional Euclidean Spaces] |
| − | ** W. S. Massey, | + | ** W. S. Massey, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 90, No. 10 (Dec., 1983), pp. 697-701 |
| − | * '''[Walsh1967]'''[http://www.jstor.org/stable/2315620 The Scarcity of Cross Products on Euclidean Spaces] | + | * '''[Walsh1967]'''[http://www.jstor.org/stable/2315620 The Scarcity of Cross Products on Euclidean Spaces] |
| − | ** Bertram Walsh, | + | ** Bertram Walsh, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 74, No. 2 (Feb., 1967), pp. 188-194 |
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| + | [[분류:미적분학]] | ||
| + | [[분류:구면기하학]] | ||
| − | + | ==메타데이터== | |
| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q178192 Q178192] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'cross'}, {'LEMMA': 'product'}] | ||
| + | * [{'LOWER': 'vector'}, {'LEMMA': 'product'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 05:45 기준 최신판
개요
- 삼차원 유클리드 벡터공간에 정의된 이항연산으로 공간벡터에 대한 기본개념
- 두 벡터 \(\mathbf{a}, \mathbf{b}\)의 외적 \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\)는 \(\mathbf{a}, \mathbf{b}\)에 각각 수직이며, 크기가 \(|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|\sin\theta\)인 벡터가 된다
- 벡터의 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이와 같게 됨
정의
- \(\mathbb{R}^3\)의 단위벡터 \(\mathbf{i}=(1,0,0), \mathbf{j}=(0,1,0), \mathbf{k}=(0,0,1)\)
- \(\mathbb{R}^3\)의 두 벡터 \(\mathbf a = (a_1, a_2, a_3)\)과 \(\mathbf b = (b_1, b_2, b_3)\)에 대하여, 외적 \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\in \mathbb{R}^3\)는 다음과 같이 정의됨
\[ \begin{aligned} \mathbf{a}\times\mathbf{b}:&=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \\ {}&=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1) \end{aligned} \] 여기서 \(\begin{vmatrix}\cdot \end{vmatrix}\)는 행렬식
성질
- 겹선형성 (bilinearity)
- \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times\mathbf{a})\)
- \(\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=0\)
- 라그랑지 항등식 \[|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^{2}+(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})^{2}=|\mathbf{a}|^{2}|\mathbf{b}|^{2}\]
- 스칼라 삼중곱\[\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})= \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix}\]
- 벡터 삼중곱 (라그랑지 공식)\[\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}\]
- 자코비 항등식\[\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})+\mathbf{b}\times (\mathbf{c}\times \mathbf{a})+\mathbf{c}\times (\mathbf{a}\times \mathbf{b})=\mathbf{0}\]
사원수와의 관계
- 사원수의 곱셈은 3차원 벡터의 내적, 외적과 다음과 같은 관계를 가진다.
- \(\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\) 라 두고, 사원수 \(a+x_1i+x_2j+x_3k\)를 \((a,\mathbf{x)}\)로 쓰자.
- 다음이 성립한다
\[(a+x_1i+x_2j+x_3k)(b+y_1i+y_2j+y_3k)=(a,\mathbf{x)}\cdot(b,\mathbf{y)}=(ab-\mathbf{x}\cdot\mathbf{y},a\mathbf{y}+b\mathbf{x}+\mathbf{x}\times\mathbf{y})\] 여기서 좌변은 두 사원수의 곱, \(\cdot\,\)은 벡터의 내적,\(\times\,\)는 3차원 벡터의 외적
- 해밀턴의 사원수(quarternions) 항목 참조
외적의 일반화
- 3차원에서 정의되는 외적을 일반적인 \(\mathbb{R}^n\)으로 일반화하는 것은 간단하지 않다
- 하나의 일반화는 다음에 의해 주어진다
- 정리
\(n\)차원 유클리드 벡터공간 \(\mathbb{R}^{n}\) 에 정의된 이항연산이 아래의 세 조건을 만족한다면, \(n=1,3,7\) 이 성립한다.
- 겹선형성(bilinearity)
- \(\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=0\)
- 라그랑지 항등식 \(|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^{2}+(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})^{2}=|\mathbf{a}|^{2}|\mathbf{b}|^{2}\)
- 증명
[Massey1983], [Walsh1967] 참조
\(\mathbb{R}^{n}\) 위에 정의된 외적의 공리를 만족시키는 이항연산 \(\times\)가 존재한다고 하자.
그러면 \(\mathbb{R}^{n+1}=\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}^{n}=\{(a,\mathbf{x)}|a\in\mathbb{R},\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n}\}\) 위에 다음과 같은 이항연산을 정의할 수 있다. \[(a,\mathbf{x)}(b,\mathbf{y)}:=(ab-\mathbf{x}\cdot\mathbf{y},a\mathbf{y}+b\mathbf{x}+\mathbf{x}\times\mathbf{y})\] 다음의 사실들을 쉽게 확인할 수 있다.
- 겹선형성(bilinearity)
- 항등원의 존재 \((1,\mathbf{0)}(a,\mathbf{x)}=(a,\mathbf{x)}(1,\mathbf{0)}=(a,\mathbf{x)}\)
- 곱셈의 norm 보존 \(|(a,\mathbf{x)}(b,\mathbf{y)}|^2=|(a,\mathbf{x)}|^{2}|(b,\mathbf{y)}|^2\)
그러므로 composition 대수에 대한 후르비츠의 정리(1,2,4,8 과 1,3,7 항목 참조) 로부터 \(n=1,3,7\) 을 얻는다. ■
Levi-Civita 텐서
- \(1\leq i,j,k \leq 3\)에 대하여 \(\varepsilon_{ijk}\)를 다음과 같이 정의하자
\[\varepsilon_{ijk} = \varepsilon^{ijk} =\begin{cases}+1 & \text{if } (i,j,k) \text{ is } (1,2,3), (3,1,2) \text{ or } (2,3,1), \\-1 & \text{if } (i,j,k) \text{ is } (1,3,2), (3,2,1) \text{ or } (2,1,3), \\\;\;\,0 & \text{if }i=j \text{ or } j=k \text{ or } k=i\end{cases} \]
- 두 벡터 \(\mathbf a = (a_1, a_2, a_3)\)과 \(\mathbf b = (b_1, b_2, b_3)\)에 대하여 \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3)\)라 두면,\[c_i= \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k\]
리대수 구조
- 파울리 행렬 의 commutator \(\left[\sigma _i,\sigma _j\right]=2i \epsilon _{i j k}\sigma _k\) 를 이용하면, 다음을 얻는다\[\left[\frac{\sigma _i}{2i},\frac{\sigma _j}{2i}\right]=\epsilon _{i j k}\frac{\sigma _k}{2i}\]
메모
- http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=66085
- Gonano, Carlo Andrea, and Riccardo Enrico Zich. “Cross Product in N Dimensions - the Doublewedge Product.” arXiv:1408.5799 [math], July 21, 2014. http://arxiv.org/abs/1408.5799.
역사
- Josiah Willard Gibbs published a treatise on vector algebra which included a definition of the vector dot product and vector cross product.
- 수학사 연표
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/외적
- http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product
- http://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product/wiki/Cross_product
- http://en.wikipedia.org/wiki/Seven-dimensional_cross_product
관련논문
- [Massey1983]Cross Products of Vectors in Higher Dimensional Euclidean Spaces
- W. S. Massey, The American Mathematical Monthly, Vol. 90, No. 10 (Dec., 1983), pp. 697-701
- [Walsh1967]The Scarcity of Cross Products on Euclidean Spaces
- Bertram Walsh, The American Mathematical Monthly, Vol. 74, No. 2 (Feb., 1967), pp. 188-194
메타데이터
위키데이터
- ID : Q178192
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'cross'}, {'LEMMA': 'product'}]
- [{'LOWER': 'vector'}, {'LEMMA': 'product'}]