공간벡터

개요

Euclid공간 <math>\mathbb{E}^3</math>는 세 실수 <math>a_ 1, a_ 2, a_ 3</math>로 된 순서쌍 <math>\mathbf{a}=(a_ 1, a_ 2, a_ 3)</math> 들의 집합을 의미하며, 이 순서쌍 <math>\mathbf{a}</math>를 <math>\mathbb{E}^3</math>의 점 (point) 또는 벡터(vector)라 한다.
점 (0, 0, 0)에 대응되는 벡터를 영벡터(zero vector)라고 부르고 0으로 나타낸다.

<math>\mathbb{E}^3</math>의 두 벡터 <math>\mathbf{a}=(a_ 1, a_ 2, a_ 3)</math>, <math>\mathbf{b}=(b_ 1, b_ 2, b_ 3)</math>에 대하여 이들의 합(sum)은 <math>\mathbf{a}+\mathbf{b}=(a_ 1+b_ 1, a_ 2+b_ 2, a_ 3+b_ 3)</math>이고 다음 성질을 만족한다.
- <math>\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{b}+\mathbf{a}</math> (교환법칙)
- <math>(\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}=\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c})</math> (결합법칙)
- <math>\mathbb{E}^3</math>의 모든 <math>\mathbf{a}</math>에 대하여, <math>\mathbf{a}+\mathbf{0}=\mathbf{a}</math>(영벡터의 존재)
- <math>\mathbb{E}^3</math>의 벡터 <math>\mathbf{a}</math>에 대하여, <math>\mathbf{a}+(-\mathbf{a})=\mathbf{0}</math>(역벡터의 존재)
<math>k\in\mathbb{R}</math>와 <math>\mathbb{E}^3</math>의 벡터 <math>\mathbf{a}=(a_ 1, a_ 2, a_ 3)</math>에서 <math>\mathbf{a}</math>의 <math>k</math>배(k multiple)는 <math>k\mathbf{a}</math>는 <math>k\mathbf{a}=(ka_ 1, ka_ 2, ka_ 3)</math>이고 다음 성질을 만족한다.
- <math>k_ 1(k_ 2a)=(k_ 1k_ 2)a</math> (결합법칙)
- <math>(k_ 1+k_ 2)a=k_ 1a+k_ 2a</math> (분배법칙)
- <math>k(a+b)=ka+kb</math> (분배법칙)
- <math>1a=a</math>