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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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==개요==
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* <math>R(x,\sqrt{1-x^2})</math>의 적분
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** <math>x=\cos u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cos x, \sin x)</math> 의 적분으로 변화
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* <math>R(x,\sqrt{x^2-1})</math>의 적분
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** <math>x=\cosh u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분으로 변화
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* <math>R(x,\sqrt{x^2+1})</math>의 적분
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** <math>x=\sinh u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분으로 변화
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* <math>R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})</math>의 적분
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** <math>ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\left((ax+b)^2+{ac-b^2}\right)</math> 으로 쓴 다음
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* <math>ac-b^2</math>와 <math>a</math>의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.
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** [[오일러 치환|오일러치환]] 항목 참조
  
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* [[삼각치환]]<br>
 
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
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==삼각치환의 이론적 근거==
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* 다음의 사실들을 알고 있어야 한다
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** 유리함수의 부정적분은 초등함수로 쓸수 있다
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** '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하다 즉, <math>y^2=ax^2+bx+c</math> 라는 곡선을, 유리함수 <math>f,g</math>를 사용하여 <math>x=f(t), y=g(t)</math> 형태로 매개화할 수 있기 때문이다.
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** 삼각함수와 쌍곡함수들은 이차곡선을 매개화한다
  
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* <math>R(x,\sqrt{1-x^2})</math>의 적분<br><math>x=\cos u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cos x, \sin x)</math> 의 적분으로 변화<br>
 
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* <math>R(x,\sqrt{x^2-1})</math>의 적분<br><math>x=\cosh u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분으로 변화<br>
 
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* <math>R(x,\sqrt{x^2+1})</math>의 적분<br><math>x=\sinh u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분으로 변화<br>
 
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* <math>R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})</math>의 적분<br><math>ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\}</math> 으로 쓴 다음<br>
 
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* <math>ac-b^2</math>와 <math>a</math>의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.<br>[[오일러 치환|오일러치환]] 항목 참조<br>
 
  
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==삼각치환==
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* <math>R(x,y)</math>는 <math>x,y</math>의 유리함수라고 가정
  
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<h5>삼각치환의 이론적 근거</h5>
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===<math>R(\cos x, \sin x)</math>의 적분===
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* 다음과 같은 치환적분을 사용 (이를 [[바이어슈트라스 치환]] 이라 한다)
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:<math>t=\tan \frac{x}{2},\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2},\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math>
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* 다음을 얻는다
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:<math>\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt</math>
  
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*  다음의 사실들을 알고 있어야 한다<br>
 
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**  유리함수의 부정적분은 초등함수로 쓸수 있다<br>
 
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**  '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하다<br> 즉, <math>y^2=ax^2+bx+c</math> 라는 곡선을, 유리함수 <math>f,g</math>를 사용하여 <math>x=f(t), y=g(t)</math> 형태로 매개화할 수 있기 때문이다. <br>
 
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**  삼각함수와 쌍곡함수들은 이차곡선을 매개화한다<br>
 
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* <math>R(x,y)</math>는 <math>x,y</math>의 유리함수라고 가정<br>
 
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* <math>R(\cos x, \sin x)</math>의 적분<br>
 
  
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*  다음과 같은 치환적분을 사용 (이를 [[바이어슈트라스 치환]] 이라 한다)<br><math>t=\tan \frac{x}{2}</math>, <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}</math>, <math>\sin x=\frac{2t}{1+t^2}</math>, <math>\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math><br><math>\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt</math><br>
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===<math>R(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분===
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* <math>R(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분<br>
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* 다음과 같은 치환적분을 사용
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:<math>t=\tanh \frac{x}{2},\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2},\sinh x=\frac{2t}{1-t^2},\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}</math>
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* 다음을 얻는다
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:<math>\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt</math>
  
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*  다음과 같은 치환적분을 사용<br><math>t=\tanh \frac{x}{2}</math>, <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}</math>, <math>\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}</math>, <math>\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}</math><br><math>\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt</math><br>
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==역사==
  
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* [[수학사 연표]]
  
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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==관련된 항목들==
  
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* [[오일러 치환]]
  
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* [[오일러 치환]]<br>
 
  
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*  도서내검색<br>
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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** http://books.google.com/books?q=
 
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
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*  도서검색<br>
 
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** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
  
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYzRlNTNmMTUtZjUwNy00OTZjLTljZTItYjQ2YjJhZDBlODNm&sort=name&layout=list&num=50
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* http://mathworld.wolfram.com/TrigonometricSubstitution.html
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<h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
 
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*   <br>
 
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* http://mathworld.wolfram.com/TrigonometricSubstitution.html<br>
 
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
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* [[매스매티카 파일 목록]]
 
* [[매스매티카 파일 목록]]
  
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==사전형태의 자료==
  
 
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%BC%EA%B0%81%EC%B9%98%ED%99%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/삼각치환][http://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_half-angle_formula ]
 
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%BC%EA%B0%81%EC%B9%98%ED%99%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/삼각치환][http://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_half-angle_formula ]
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution
  
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[[분류:삼각함수]]
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[[분류:적분]]
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[[분류:미적분학]]
  
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*   <br>
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==메타데이터==
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* 구글 블로그 검색 [http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=%EC%82%BC%EA%B0%81%EC%B9%98%ED%99%98 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=삼각치환]
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===위키데이터===
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* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q2641564 Q2641564]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'tangent'}, {'LOWER': 'half'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'angle'}, {'LEMMA': 'formula'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:46 기준 최신판

개요

  • \(R(x,\sqrt{1-x^2})\)의 적분
    • \(x=\cos u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cos x, \sin x)\) 의 적분으로 변화
  • \(R(x,\sqrt{x^2-1})\)의 적분
    • \(x=\cosh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화
  • \(R(x,\sqrt{x^2+1})\)의 적분
    • \(x=\sinh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화
  • \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)의 적분
    • \(ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\left((ax+b)^2+{ac-b^2}\right)\) 으로 쓴 다음
  • \(ac-b^2\)와 \(a\)의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.




삼각치환의 이론적 근거

  • 다음의 사실들을 알고 있어야 한다
    • 유리함수의 부정적분은 초등함수로 쓸수 있다
    • '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하다 즉, \(y^2=ax^2+bx+c\) 라는 곡선을, 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\) 형태로 매개화할 수 있기 때문이다.
    • 삼각함수와 쌍곡함수들은 이차곡선을 매개화한다


삼각치환

  • \(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수라고 가정


\(R(\cos x, \sin x)\)의 적분

\[t=\tan \frac{x}{2},\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2},\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\]

  • 다음을 얻는다

\[\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt\]


\(R(\cosh x, \sinh x)\)의 적분

  • 다음과 같은 치환적분을 사용

\[t=\tanh \frac{x}{2},\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2},\sinh x=\frac{2t}{1-t^2},\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}\]

  • 다음을 얻는다

\[\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt\]

역사



관련된 항목들






매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'tangent'}, {'LOWER': 'half'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'angle'}, {'LEMMA': 'formula'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=삼각치환&oldid=52330"