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| + | * <math>R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})</math>의 적분 | ||
| + | ** <math>ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\left((ax+b)^2+{ac-b^2}\right)</math> 으로 쓴 다음 | ||
| + | * <math>ac-b^2</math>와 <math>a</math>의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝. | ||
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| + | ** 유리함수의 부정적분은 초등함수로 쓸수 있다 | ||
| + | ** '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하다 즉, <math>y^2=ax^2+bx+c</math> 라는 곡선을, 유리함수 <math>f,g</math>를 사용하여 <math>x=f(t), y=g(t)</math> 형태로 매개화할 수 있기 때문이다. | ||
| + | ** 삼각함수와 쌍곡함수들은 이차곡선을 매개화한다 | ||
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| + | :<math>t=\tan \frac{x}{2},\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2},\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math> | ||
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| + | :<math>\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt</math> | ||
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| − | * http://mathworld.wolfram.com/TrigonometricSubstitution.html | + | * http://mathworld.wolfram.com/TrigonometricSubstitution.html |
* http://www.wolframalpha.com/input/?i= | * http://www.wolframalpha.com/input/?i= | ||
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences] | * [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences] | ||
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution | * http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution | ||
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| − | + | [[분류:적분]] | |
| − | + | [[분류:미적분학]] | |
| − | * | + | ==메타데이터== |
| − | + | ===위키데이터=== | |
| − | [ | + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q2641564 Q2641564] |
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'tangent'}, {'LOWER': 'half'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'angle'}, {'LEMMA': 'formula'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 05:46 기준 최신판
개요
- \(R(x,\sqrt{1-x^2})\)의 적분
- \(x=\cos u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cos x, \sin x)\) 의 적분으로 변화
- \(R(x,\sqrt{x^2-1})\)의 적분
- \(x=\cosh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화
- \(R(x,\sqrt{x^2+1})\)의 적분
- \(x=\sinh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화
- \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)의 적분
- \(ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\left((ax+b)^2+{ac-b^2}\right)\) 으로 쓴 다음
- \(ac-b^2\)와 \(a\)의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.
- 오일러치환 항목 참조
삼각치환의 이론적 근거
- 다음의 사실들을 알고 있어야 한다
- 유리함수의 부정적분은 초등함수로 쓸수 있다
- '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하다 즉, \(y^2=ax^2+bx+c\) 라는 곡선을, 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\) 형태로 매개화할 수 있기 때문이다.
- 삼각함수와 쌍곡함수들은 이차곡선을 매개화한다
삼각치환
- \(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수라고 가정
\(R(\cos x, \sin x)\)의 적분
- 다음과 같은 치환적분을 사용 (이를 바이어슈트라스 치환 이라 한다)
\[t=\tan \frac{x}{2},\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2},\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\]
- 다음을 얻는다
\[\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt\]
\(R(\cosh x, \sinh x)\)의 적분
- 다음과 같은 치환적분을 사용
\[t=\tanh \frac{x}{2},\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2},\sinh x=\frac{2t}{1-t^2},\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}\]
- 다음을 얻는다
\[\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt\]
역사
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYzRlNTNmMTUtZjUwNy00OTZjLTljZTItYjQ2YjJhZDBlODNm&sort=name&layout=list&num=50
- http://mathworld.wolfram.com/TrigonometricSubstitution.html
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
사전형태의 자료
메타데이터
위키데이터
- ID : Q2641564
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'tangent'}, {'LOWER': 'half'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'angle'}, {'LEMMA': 'formula'}]