"1/(1+x^2)의 적분"의 두 판 사이의 차이
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<math>\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x+C</math> | <math>\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x+C</math> | ||
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<h5>이차곡선과 삼각·쌍곡 함수</h5> | <h5>이차곡선과 삼각·쌍곡 함수</h5> | ||
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<math>x=\sinh t, y=\cosh t, x^2-y^2=-1, y=g(x)=\sqrt{1+x^2}</math> | <math>x=\sinh t, y=\cosh t, x^2-y^2=-1, y=g(x)=\sqrt{1+x^2}</math> | ||
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| − | x=\ | + | <math>x=\tanh t, y=\operatorname{sech}^2 t, x^2+y=1, y=g(x)=1-x^2</math> |
| − | x=\ | + | <math>x=\coth t, y=-\operatorname{csch}^2 t, x^2+y=1, y=g(x)=1-x^2</math> |
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2010년 8월 22일 (일) 07:02 판
개요
\(\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x+C\)
치환적분
곡선과 적분
\(\int \frac{1}{g(x)}\,dx\)
형태의 적분을 생각해 보자.
\(x=f(t)\), \(y=g(x)=g(f(t))=f'(t)\) 을 만족시키는 경우,
\(\int \frac{1}{g(x)}\,dx=\int \frac{f'(t)}{g(f(t))}\,dt=\int \frac{f'(t)}{f'(t)}\,dt=f^{-1}(x)+C\) 를 얻는다.
따라서 \(f'(t)\) 를 \(f(t)\) 의 간단한 함수로 표현할 수 있는 경우, 즉 \(f'(t)=g(f(t))\) 의 형태가 되는 경우, 1/g의 부정적분을 쉽게 찾을 수 있다.
이차곡선과 삼각·쌍곡 함수
\(x=f(t), y=f'(t)\)
\(x=\cos t, y=-\sin t, x^2+y^2=1, y=-g(x)=-\sqrt{1-x^2}\)
\(x=\sin t, y=\cos t, x^2+y^2=1, y=g(x)=\sqrt{1-x^2}\)
\(x=\cosh t, y=\sinh t, x^2-y^2=1, y= g(x)=\sqrt{x^2-1}\)
\(x=\sinh t, y=\cosh t, x^2-y^2=-1, y=g(x)=\sqrt{1+x^2}\)
\(x=\tan t, y=\sec^2 t, x^2-y=-1, y=g(x)=x^2+1\)
\(x=\cot t, y=-\csc^2 t, x^2+y=-1, y=g(x)=-1-x^2\)
\(x=\tanh t, y=\operatorname{sech}^2 t, x^2+y=1, y=g(x)=1-x^2\)
\(x=\coth t, y=-\operatorname{csch}^2 t, x^2+y=1, y=g(x)=1-x^2\)