타원적분

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• 타원적분

 

 

개요

• 먼저 타원적분 입문 참조
  
• \(R(x,y)\)는  \(x,y\)의 유리함수이고, \(y^2\)은 \(x\)의 3차 또는 4차식
  \(\int R(x,\sqrt{ax^3+bx^2+cx+d}) \,dx\) 또는
  \(\int R(x,\sqrt{ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}) \,dx\)
  

 

 

타원 둘레의 길이

• 역사적으로 타원 둘레의 길이를 구하는 적분에서 그 이름이 기원함.
• 타원  \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)의 둘레의 길이는 \(4aE(k)\) 로 주어짐.
  \(k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
  \(E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)
  

 

정의

• 일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 타원적분이라 부름

\(\int R(x,y)\,dx\)

여기서 \(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수, \(y^2\)= 중근을 갖지 않는 \(x\)의 3차식 또는 4차식.

• 예를 들자면,
   \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\)
  \(\int \frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)
   
  

 

일종타원적분과 이종타원적분

• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
  \(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)
  \(K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\)
  
• 제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)
  \(E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)
  \(E(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;k^2)\)
  
• \(\,_2F_1(a,b;c;z)\)는 초기하급수(Hypergeometric series)

 

 

르장드르의 항등식

• 일종타원적분과 이종타원적분 사이에는 다음과 같은 관계가 성립

\(E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}\)

또는 \(\theta+\phi=\frac{\pi}{2}\) 에 대하여

\(E(\sin\theta)K(\sin\phi)+E(\sin\phi)K(\sin\theta)-K(\sin\theta)K(\sin\phi)=\frac{\pi}{2}\)

• 특별히 다음과 같은 관계가 성립함
  

\(2K(\frac{1}{\sqrt{2}})E(\frac{1}{\sqrt{2}})-K(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{\pi}{2}\)

AGM과 파이값의 계산에 응용

 

 

덧셈공식

• 파그나노의 공식
  \(\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}}dx = \int_0^{A(x,y)}{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}}dx\)
  여기서 \(A(x,y)=\frac{x\sqrt{1-y^4}+y\sqrt{1-x^4}}{1+x^2y^2}\)
  
• 오일러의 일반화
  \(p(x)=1+mx^2+nx^4\)일 때,
  \(\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{p(x)}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{p(x)}}}dx = \int_0^{B(x,y)}{\frac{1}{\sqrt{p(x)}}}dx\)
  여기서 \(B(x,y)=\frac{x\sqrt{p(y)}+y\sqrt{p(x)}}{1-nx^2y^2}\)
  

 

 

메모

• 타원적분의 응용으로 단진자의 주기와 타원적분 항목 참조
  

 

 

하위페이지

• 타원적분
  
  • Chowla-셀베르그 공식
    
  • 란덴변환(Landen's transformation)
    
  • 렘니스케이트 곡선과 Lemniscatomy
    
  • 렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분
    
    • 아이젠슈타인 기약다항식 판정법
      
  • 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
    
  • 제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)
    
  • 타원 둘레의 길이
    
  • 타원적분(통합됨)
    
  • 타원적분론 입문
    

 

 

관련된 항목들

• 타원곡선
• 타원함수
  
  • 바이어슈트라스의 타원함수
    
• 자코비 세타함수
• 초기하급수(Hypergeometric series)와 q-초기하급수
• 대수적 함수와 아벨적분
• 오일러치환

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• In Search of the "Birthday" of Elliptic Functions - Bit by bit, the discoverers decided what it was they had discovered.
  
  • Rice, Adrian, 48-57, The Mathematical Intelligencer, Volume 30, Number 2, 2008-3
    
• Euler and algebraic geometry
  
  • Burt Totaro, Bull. Amer. Math. Soc. 44 (2007), 541-559.
    
• The Lemniscate and Fagnano's Contributions to Elliptic Integrals
  
  • AYOUB R
• A property of Euler's elastic curve
• The story of Landen, the hyperbola and the ellipse
  
  • Elemente der Mathematik, Volume 57, Number 1 / 2002년 2월

• Three Fermat Trails to Elliptic Curves
  
  • Ezra Brown, The College Mathematics Journal, Vol. 31, No. 3 (May, 2000), pp. 162-172
• Elliptic Curves
  
  • John Stillwell, The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 9 (Nov., 1995), pp. 831-837
• Abel's Theorem on the Lemniscate
  
  • Michael Rosen, The American Mathematical Monthly, Vol. 88, No. 6 (Jun. - Jul., 1981), pp. 387-395

 

• Three Fermat Trails to Elliptic Curves
  
  • Ezra Brown, The College Mathematics Journal, Vol. 31, No. 3 (May, 2000), pp. 162-172
• Elliptic Curves
  
  • John Stillwell, The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 9 (Nov., 1995), pp. 831-837
• Abel's Theorem on the Lemniscate
  
  • Michael Rosen, The American Mathematical Monthly, Vol. 88, No. 6 (Jun. - Jul., 1981), pp. 387-395

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://dx.doi.org/

 

 

관련도서

• Elliptic functions and elliptic integrals
  
  • Viktor Prasolov, Yuri Solovyev
• Pi and the AGM
  
  • Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein

   

 

블로그

• 삼각치환에서 타원적분으로 피타고라스의 창, 2009-8-19