맥스웰 방정식

맥스웰 방정식의 벡터 해석학적 표현 (미분)

• 전기장에 대한 가우스의 법칙\[\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\]
• 자기장에 대한 가우스의 법칙\[\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\]
• 패러데이의 법칙

\[\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\]

• 앙페르 법칙

\[\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \]

• 단위는 MKS system of units

맥스웰 방정식의 벡터 해석학적 표현 (적분)

• 전기장에 대한 가우스의 법칙

\[\iint_{S} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{S} = \frac {Q} {\varepsilon_0}\]

• 자기장에 대한 가우스의 법칙

\[\iint_{S} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} = 0\]

• 패러데이의 법칙

\[\int_{C} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{r} =-\frac{d}{dt}\iint_{S} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{S} \]

• 앙페르 법칙

\[\int_{C} \mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{r} =\mu_0(I+\varepsilon_{0}\frac{d}{dt}\iint_{S} \mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{S})\]

• 단위는 MKS system of units

기호

• 메트릭 η =g_{\mu\nu}= diag(+1, −1, −1, −1)
• 벡터 포텐셜 \(\mathbf{A}(x,y,z,t)=(A_{x},A_{y},A_{z})\)
• 스칼라 포텐셜 \(\phi(x,y,z,t)\)
• 전기장 \(\mathbf{E}(x,y,z,t)=(E_x,E_y,E_z)\)
• 자기장 \(\mathbf{B}(x,y,z,t)=(B_x,B_y,B_z)\)
• 전하 밀도 (스칼라) \(\rho(x,y,z,t)\)
• 전류 밀도 \(\mathbf{J}(x,y,z,t)=(J_x,J_y,J_z)\)
• \(\mu_0\) vacuum permeability
• \(\varepsilon_0\) vacuum permittivity
• \(c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}\)
• 포벡터\[x^{\alpha}= \left(ct,x,y,z\right) \]\[x_{\alpha}= \left(ct,-x,-y,-z\right) \]\[\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}= \partial_\alpha= \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \nabla\right) \]\[\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}= \partial^\alpha= \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, -\nabla\right) \]\[ j^{\alpha}=(c\rho, J_x,J_y,J_z)\]

파동 방정식의 유도

• 미분연산자 사이에는 다음과 같은 항등식이 성립 (미분연산자, 다변수미적분학 항목 참조)\[\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}\]\[ \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})\]
• 전기장에 대한 가우스의 법칙과 패러데이의 법칙으로부터 다음을 얻는다

\[\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}, \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\]\[ \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \nabla \times \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\nabla \times \mathbf{B})} {\partial t}\]

• 앙페르-패러데이 법칙으로부터 다음을 얻는다

\[\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \] \[ \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\mu_0\mathbf{J} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ )} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \mu_0\frac{\partial \mathbf{J} }{\partial t} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}\]

• \(\rho=0, \mathbf{J}=0 \)인 곳에서 전기장은 파동방정식을 만족시키게 된다\[ \nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}\]

연속 방정식

• 앙페르-패러데이 법칙과 가우스 법칙이 사용된다.
• 앙페르-패러데이 법칙에서 시작하자

\[\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \] 에 divergence 연산자를 적용하여, \[\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{B} ) = \mu_0 \nabla \cdot \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t}\] \[ \nabla \cdot \mathbf{J} + \epsilon_0\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t} = 0\]

가우스 법칙 \(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\) 을 적용하면, \[ \nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0\] 을 얻는다.

• 마지막에 얻어진 방정식을 연속 방정식 이라 부르며 국소적인 전하의 보존을 의미한다

역사

• 1820 앙페르
• 맥스웰
• 올리버 헤비사이트
• 하인리히 헤르츠
• 수학사 연표

메모

• http://www.johndcook.com/blog/2012/02/12/why-magnetic-field-b/

관련된 항목들

• 미분형식과 맥스웰 방정식
• 전자기 텐서와 맥스웰 방정식
• 전자기 포텐셜과 맥스웰 방정식
• 다변수미적분학
• 미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학
• 편미분방정식
• 파동 방정식
• 연속 방정식

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxMHpsWDdfNWJTWWs/edit
• Exploring Maxwell’s Equations with Mathematica 9—Wolfram Blog

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/맥스웰_방정식
• http://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell's_equations