"슈테판-볼츠만 법칙"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
1번째 줄: 1번째 줄:
 
==개요==
 
==개요==
 +
* 흑체의 온도 $T$와 단위 면적당 복사 에너지 $R(T)$의 관계에 대한 슈테판-볼츠만 법칙
 +
$$R(T)=\sigma T^4$$
 +
여기서 $\sigma$는 슈테판-볼츠만 상수
 +
* 플랑크는 양자 가설을 이용하여 이 법칙을 유도
 +
* 이 유도과정에는 <math>\zeta(4)</math>가 등장하며, 슈테판-볼츠만 상수는 다음과 같이 주어짐
 +
:<math>
 +
\sigma=\frac{2\pi^5 k^4}{15c^2h^3}= 5.670373 \times 10^{-8}\, \mathrm{W\, m^{-2}K^{-4}},
 +
</math>
 +
여기서 k는 볼츠만 상수, h는 플랑크 상수, c는 빛의 속도
  
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
==중심이항계수==
 
−
 
−
* [[중심이항계수(central binomial coefficient)]]
 
−
* [[로그 사인 적분 (log sine integrals)]] 의 결과를 이용
 
−
:<math>\zeta(4) = \frac{36}{17} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}</math>
 
−
 
−
;증명
 
−
아크사인함수의 멱급수로부터 다음을 얻는다.
 
−
:<math>2(\sin^{-1} x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}</math>
 
−
이를 이용하여, 다음을 증명할 수 있다
 
−
:<math>I=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}</math>
 
−
 
−
한편
 
−
:<math>I=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}=2\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{3240}</math>
 
−
 
−
 
−
 
−
 
  
 
==슈테판-볼츠만의 법칙==
 
==슈테판-볼츠만의 법칙==
−
 
+
* 흑체의 온도와 복사 에너지의 관계에 대한 슈테판-볼츠만 법칙의 유도과정에는 <math>\zeta(4)</math> 의 계산이 등장함
−
* 흑체의 온도와 복사 에너지의 관계에 대한 슈테판-볼츠만 법칙의 유도과정에는 <math>\zeta(4)</math> 의 계산이 등장함.
 
 
* 플랑크의 흑체 복사 적분
 
* 플랑크의 흑체 복사 적분
−
:<math>I(T)=\frac{8\pi h}{c^3}\int_0^\infty \frac{\nu^3}{ e^{\frac{h \nu}{kT}}-1} d \nu=\frac{8\pi^5k^4T^4}{15c^3h^3}</math>
+
:<math>R(T)=\frac{2\pi h}{c^2}\int_0^\infty \frac{\nu^3}{ e^{\frac{h \nu}{kT}}-1} d \nu=\frac{2 \pi ^5 k^4}{15 c^2 h^3} T^4</math>
 
* 상수를 제외하면 다음과 같은 적분
 
* 상수를 제외하면 다음과 같은 적분
 
:<math>\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^x-1}dx=\Gamma(4)\zeta(4)=\frac{\pi^4}{15}</math>
 
:<math>\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^x-1}dx=\Gamma(4)\zeta(4)=\frac{\pi^4}{15}</math>
36번째 줄: 20번째 줄:
 
:<math>\int_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{e^x-1}dx=\int_{0}^{\infty}x^{n}(e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+e^{-5x}+\cdots)dx=\Gamma(n+1)\zeta(n+1)</math>:<math>\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-kx}dx=\frac{\Gamma(n+1)}{k^{n+1}}</math>
 
:<math>\int_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{e^x-1}dx=\int_{0}^{\infty}x^{n}(e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+e^{-5x}+\cdots)dx=\Gamma(n+1)\zeta(n+1)</math>:<math>\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-kx}dx=\frac{\Gamma(n+1)}{k^{n+1}}</math>
 
* [[푸리에 변환]] 항목의 멜린변환 참조
 
* [[푸리에 변환]] 항목의 멜린변환 참조
 +
  
 
==메모==
 
==메모==
74번째 줄: 59번째 줄:
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Bose-Einstein_distribution
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Bose-Einstein_distribution
 +
  
 
==리뷰, 에세이, 강의노트==
 
==리뷰, 에세이, 강의노트==
81번째 줄: 67번째 줄:
  
 
==관련논문==
 
==관련논문==
−
* [http://www.jstor.org/stable/2160718 On an Intriguing Integral and Some Series Related to ζ(4)]
+
* Robinson, John E. “Note on the Bose-Einstein Integral Functions.” Physical Review 83, no. 3 (August 1, 1951): 678–79. doi:10.1103/PhysRev.83.678.
−
** David Borwein and Jonathan M. Borwein, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 123, No. 4 (Apr., 1995), pp. 1191-1198
 
−
* [http://prola.aps.org/abstract/PR/v83/i3/p678_1 Note on the Bose-Einstein Integral Functions]
 
−
** John E. Robinson, Phys. Rev. 83, 678 - 679 (1951)
 
  
 
[[분류:수리물리학]]
 
[[분류:수리물리학]]
−
[[분류:리만 제타 함수]]
 
 
[[분류:상수]]
 
[[분류:상수]]

2015년 3월 21일 (토) 00:22 판

개요

  • 흑체의 온도 $T$와 단위 면적당 복사 에너지 $R(T)$의 관계에 대한 슈테판-볼츠만 법칙

$$R(T)=\sigma T^4$$ 여기서 $\sigma$는 슈테판-볼츠만 상수

  • 플랑크는 양자 가설을 이용하여 이 법칙을 유도
  • 이 유도과정에는 \(\zeta(4)\)가 등장하며, 슈테판-볼츠만 상수는 다음과 같이 주어짐

\[ \sigma=\frac{2\pi^5 k^4}{15c^2h^3}= 5.670373 \times 10^{-8}\, \mathrm{W\, m^{-2}K^{-4}}, \] 여기서 k는 볼츠만 상수, h는 플랑크 상수, c는 빛의 속도


슈테판-볼츠만의 법칙

  • 흑체의 온도와 복사 에너지의 관계에 대한 슈테판-볼츠만 법칙의 유도과정에는 \(\zeta(4)\) 의 계산이 등장함
  • 플랑크의 흑체 복사 적분

\[R(T)=\frac{2\pi h}{c^2}\int_0^\infty \frac{\nu^3}{ e^{\frac{h \nu}{kT}}-1} d \nu=\frac{2 \pi ^5 k^4}{15 c^2 h^3} T^4\]

  • 상수를 제외하면 다음과 같은 적분

\[\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^x-1}dx=\Gamma(4)\zeta(4)=\frac{\pi^4}{15}\]

  • 더 일반적으로 다음과 같은 적분을 할 수 있음.

\[\int_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{e^x-1}dx=\int_{0}^{\infty}x^{n}(e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+e^{-5x}+\cdots)dx=\Gamma(n+1)\zeta(n+1)\]\[\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-kx}dx=\frac{\Gamma(n+1)}{k^{n+1}}\]


메모

  • 자코비 세타함수 를 이용하여 리만제타함수와 리만가설를 해석적으로 확장하는 것과의 유사성\[\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\]
  • 슈테판-볼츠만 법칙을 유도하는 과정에서 나오는 적분의 경우\[\int_{0}^{\infty}\frac{1}{e^t-1}t^s\frac{dt}{t}=\int_{0}^{\infty}t^{s-1}(e^{-t}+e^{-2t}+e^{-3t}+e^{-4t}+e^{-5t}+\cdots)dt=\Gamma(s)\zeta(s)\]
  • \(\psi(t)=i \cot \frac{t}{2}\) 로 두면, \[ \frac{\psi(it)-1}{2}=\frac{1}{e^t-1}\]\[\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix \]

\[\int_{0}^{\infty}(\frac{\coth t/2-1}{2})t^s\frac{dt}{t}=\Gamma(s)\zeta(s)\] \[\int_{0}^{\infty}(\frac{\coth t-1}{2})t^s\frac{dt}{t}=2^{-s}\Gamma(s)\zeta(s)\]


역사



관련된 항목들

사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

  • Cardy, John. “The Ubiquitous ‘c’: From the Stefan-Boltzmann Law to Quantum Information.” Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment 2010, no. 10 (October 7, 2010): P10004. doi:10.1088/1742-5468/2010/10/P10004.


관련논문

  • Robinson, John E. “Note on the Bose-Einstein Integral Functions.” Physical Review 83, no. 3 (August 1, 1951): 678–79. doi:10.1103/PhysRev.83.678.
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=슈테판-볼츠만_법칙&oldid=31195"