1/(1+x^2)의 적분
개요
\(\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=?\)
놀라운 치환적분
\(x=\tan t\) 로 치환하면,
\(dx=(\tan t)'\,dt=\sec^2 t\,dt\)
\(1+x^2=1+\tan^2 t=\sec^2 t\) 이므로
\(\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\int 1 \,dt=t+C=\arctan x+C\)
를 얻는다.
함수와 도함수가 서로 간단한 관계로 표현되는 함수들
\(x=f(t), y=f'(t)\)
\(x=\cos t, y=-\sin t, x^2+y^2=1, y=-g(x)=-\sqrt{1-x^2}\)
\(x=\sin t, y=\cos t, x^2+y^2=1, y=g(x)=\sqrt{1-x^2}\)
\(x=\cosh t, y=\sinh t, x^2-y^2=1, y= g(x)=\sqrt{x^2-1}\)
\(x=\sinh t, y=\cosh t, x^2-y^2=-1, y=g(x)=\sqrt{1+x^2}\)
\(x=\tan t, y=\sec^2 t, x^2-y=-1, y=g(x)=x^2+1\)
\(x=\cot t, y=-\csc^2 t, x^2+y=-1, y=g(x)=-1-x^2\)
\(x=\tanh t, y=\operatorname{sech}^2 t, x^2+y=1, y=g(x)=1-x^2\)
\(x=\coth t, y=-\operatorname{csch}^2 t, x^2+y=1, y=g(x)=1-x^2\)
적분에의 응용
위에서 제시된 함수들처럼 함수 \(f(t)\)의 도함수 \(f'(t)\) 가 \(f(t)\) 의 간단한 함수로 표현되는 경우, 즉 적당한 함수 \(g\)에 대하여 \(f'(t)=g(f(t))\) 로 표현할 수 있다고 하자.
이러한 경우,
\(\int \frac{1}{g(x)}\,dx\)
를 구하는 문제는 다음과 같이 해결될 수 있다.
\(\int \frac{1}{g(x)}\,dx=\int \frac{f'(t)}{g(f(t))}\,dt=\int \frac{f'(t)}{f'(t)}\,dt=f^{-1}(x)+C\)
요약하자면, 본래함수와 그 도함수가 만족시키는 간단한 관계를 찾을 수 있다면, 이를 적분을 찾는 문제에 응용할 수 있다.
타원적분과 타원함수
이러한 원리를 이용하면, 타원함수와 타원적분의 관계에 대해서도 생각해 볼 수 있게 된다.
어떤 적당한 상수 \(g_2, g_3\)에 대하여 바이어슈트라스의 타원함수 라는 복소함수를 정의할 수 있다.
\(\wp(z)=z^{-2}+\frac{g_2}{20}z^2+\frac{g_3}{28}z^4+\frac{g_2^2}{1200}z^6+\cdots\)
이 함수의 도함수는 다음을 만족시킨다.
\(\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3\)
위에서 삼각함수들이 만족시키는 것과 비슷하다.
\(\int \frac{\,dx}{\sqrt{4x^3-g_2x-g_3}}\)