1/(1+x^2)의 적분
문제
\(\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=?\)
치환적분
\(x=\tan t\) 로 치환하면,
\(dx=(\tan t)'\,dt=\sec^2 t\,dt\)
\(1+x^2=1+\tan^2 t=\sec^2 t\) 이므로
\(\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\int 1 \,dt=t+C=\arctan x+C\)
를 얻는다.
함수와 도함수가 만족시키는 간단한 관계
\(x=f(t), y=f'(t)\) 로 두어보자.
삼각함수와 쌍곡함수들의 경우, 다음과 같은 재미있는 패턴들을 발견할 수 있게 된다.
\(x=\cos t, y=-\sin t, x^2+y^2=1, y=-g(x)=-\sqrt{1-x^2}\)
\(x=\sin t, y=\cos t, x^2+y^2=1, y=g(x)=\sqrt{1-x^2}\)
\(x=\cosh t, y=\sinh t, x^2-y^2=1, y= g(x)=\sqrt{x^2-1}\)
\(x=\sinh t, y=\cosh t, x^2-y^2=-1, y=g(x)=\sqrt{1+x^2}\)
\(x=\tan t, y=\sec^2 t, x^2-y=-1, y=g(x)=x^2+1\)
\(x=\cot t, y=-\csc^2 t, x^2+y=-1, y=g(x)=-1-x^2\)
\(x=\tanh t, y=\operatorname{sech}^2 t, x^2+y=1, y=g(x)=1-x^2\)
\(x=\coth t, y=-\operatorname{csch}^2 t, x^2+y=1, y=g(x)=1-x^2\)
한가지 눈에 띄는 것은, 여기에 등장하는 대수곡선 \(x^2+y^2=1,x^2-y^2=\pm 1, x^2+y=\pm1, x^2-y=-1\) 들이 이차곡선(원뿔곡선) 이라는 점이다.
[[삼각치환|]]
적분에의 응용
위에서 보여준 함수들처럼 함수 \(f(t)\)의 도함수 \(f'(t)\) 가 \(f(t)\) 의 간단한 함수로 표현되는 경우, 즉 적당한 함수 \(g\)에 대하여 \(f'(t)=g(f(t))\) 로 표현할 수 있는 경우,
\(\int \frac{1}{g(x)}\,dx\)
를 구하는 문제는 다음과 같이 해결될 수 있다.
\(\int \frac{1}{g(x)}\,dx=\int \frac{f'(t)}{g(f(t))}\,dt=\int \frac{f'(t)}{f'(t)}\,dt=f^{-1}(x)+C\)
요약하자면, 본래함수와 그 도함수가 만족시키는 간단한 관계를 찾을 수 있는 함수들은, 어떤 특정한 함수의 부정적분을 구하는 문제에 응용할 수 있다는 것이다.
타원적분과 타원함수
이러한 원리를 이용하면, 타원함수와 타원적분의 관계에 대해서도 생각해 볼 수 있게 된다.
어떤 적당한 상수 \(g_2, g_3\)에 대하여 바이어슈트라스의 타원함수 라는 복소함수를 정의할 수 있다.
\(\wp(z)=z^{-2}+\frac{g_2}{20}z^2+\frac{g_3}{28}z^4+\frac{g_2^2}{1200}z^6+\cdots\)
이 함수의 도함수는 다음을 만족시킨다.
\(\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3\)
위에서 삼각함수들과 같이 본래함수와 그 도함수가 만족시키는 간단한 관계를 찾을 수 있으며, 여기서는 \(g(x)=\sqrt{4x^3-g_2x-g_3}\)로 쓸 수 있다.
삼각함수에서는 \(x^2+y^2=1\)와 같은 이차곡선이 얻어졌다면, 여기서는 \(y^2=4x^3-g_2x-g_3\) 와 같은 3차곡선, 즉 타원곡선 (이차곡선의 하나인 타원과는 다른 것임) 이 얻어지게 된다.
따라서 다음과 같은 적분의 답은
\(\int \frac{\,dx}{\sqrt{4x^3-g_2x-g_3}}=\wp^{-1}(x)+C\)
바이어슈트라스의 타원함수\(\wp(z)\) 의 역함수가 된다.