적분의 주제들

로그 사인 적분 (log sine integrals)
\(\int_{0}^{\pi/2}\log^2(\sin x)\,dx=\frac{\pi}{2}(\log 2)^2+\frac{\pi^3}{24}\)
로그 탄젠트 적분(log tangent integral)
\(\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=\frac{\pi}{2}\ln{\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi}\)
\(\int_0^{\infty}\frac{\log^2 x}{1+x^2} dx = \frac{ \pi^3}{8}\)
다이로그 함수(dilogarithm )
\(\int_{0}^{\infty}\log(1+e^{-x})}\,dx=\frac{\pi^2}{12}\)
가우시안 적분
\(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\)
라마누잔의 정적분
\(\int_{0}^{\infty}\frac{x e^{-\sqrt{5}x}}{\cosh{x}}\,dx=\frac{1}{8}(\psi^{(1)}(\frac{1+\sqrt{5}}{4})-\psi^{(1)}(\frac{3+\sqrt{5}}{4}))\)

수학과 잡담을 위한 소박한 장소

목차