삼각치환
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개요
- \(R(x,\sqrt{1-x^2})\)의 적분\[x=\cos u\] 치환을 사용하면, \(R'(\cos x, \sin x)\) 의 적분으로 변화
- \(R(x,\sqrt{x^2-1})\)의 적분\[x=\cosh u\] 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화
- \(R(x,\sqrt{x^2+1})\)의 적분\[x=\sinh u\] 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화
- \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)의 적분\[ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\left((ax+b)^2+{ac-b^2}\right)\] 으로 쓴 다음
- \(ac-b^2\)와 \(a\)의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.
오일러치환 항목 참조
삼각치환의 이론적 근거
- 다음의 사실들을 알고 있어야 한다
- 유리함수의 부정적분은 초등함수로 쓸수 있다
- '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하다
즉, \(y^2=ax^2+bx+c\) 라는 곡선을, 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\) 형태로 매개화할 수 있기 때문이다. - 삼각함수와 쌍곡함수들은 이차곡선을 매개화한다
- 유리함수의 부정적분은 초등함수로 쓸수 있다
- \(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수라고 가정
- \(R(\cos x, \sin x)\)의 적분
- 다음과 같은 치환적분을 사용 (이를 바이어슈트라스 치환 이라 한다)\[t=\tan \frac{x}{2}\], \(\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}\), \(\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\), \(\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\)\[\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt\]
- \(R(\cosh x, \sinh x)\)의 적분
- 다음과 같은 치환적분을 사용\[t=\tanh \frac{x}{2}\], \(\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}\), \(\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}\), \(\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}\)\[\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt\]
역사
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYzRlNTNmMTUtZjUwNy00OTZjLTljZTItYjQ2YjJhZDBlODNm&sort=name&layout=list&num=50
- http://mathworld.wolfram.com/TrigonometricSubstitution.html
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
사전형태의 자료